Схема размножения и гибели

Функционирование большого числа СМО можно описать графом, приведенным на рис.3.4. Особенность этого графа состоит в том, что в нем любое Z_i состояние связано ветвями лишь с соседними Z_i-1 и Z_i+1 состояниями, а начальное состояние Z₀ и конечное Z_n - только с одним соседним состоянием.

λ_0,1 λ_1,2 λ_n-1,n

μ_0,1 μ_2,1 μ_n,n-1

Рис.3.4.

На схеме обозначены: λ_{i, i +1}, i=0,n-1 - интенсивности потока заявок на обслуживание; μ_{i, i -1}, i=1,n - интенсивности потока обслуженных заявок или просто интенсивности обслуживания потока заявок. Такая модель СМО применялась при решении биологических задач, в частности, изучения закономерностей изменения численности популяций. В этих задачах λ - интенсивность размножения особей, а μ - интенсивность их гибели. Отсюда и термин “схема размножения и гибели”.

Для определения вероятностей состояний Z₀,Z₁,...,Z_n составляется система уравнений, описывающих функционирование СМО:

λ₀₁

Из первого уравнения этой системы P₁ = ---- P₀. Подставляя во второе уравнение μ₁₀ μ₁₀

вместо Р₀ значение Р₀= ----- P₁, получим λ_1,2P₁ = μ_2,1P₂ .

λ₀₁

Аналогично λ_2,3P₂ = μ_3,2P₃ ;...; λ_{k -1,k}P_k-1 = μ_{k,k –1}P_k ;...; λ_{n –1,n}P_n-1 = μ_{n,n –1}P_n

Тогда система уравнений примет вид:

Из этой системы вероятности Р₁,Р₂,...Р_n выражаются через вероятность Р₀:

λ_0,1 λ_1,2 λ_0,1λ_1,2 λ_0,1λ_1,2λ_2,3

P₁ = ---- P₀; P₂ = ---- P₁ = -------- P₀; P₃ = -------------P₀;

μ_1,0 μ_2,1 μ_1,0μ_2,1 μ_1,0μ_2,1μ_3,2

........

λ_0,1λ_1,2... λ_n-1,n

P_n = ------------------P₀. (3.8)

μ_0,1μ_2,1... μ_n,n-1

λ_0,1 λ_1,2 λ_n-1,n

Обозначая --- = ρ; ---- = ρ2;...; ------ = ρ_n,

μ_0,1 μ_2,1 μ_n,n-1

где ρ_i передача i-й ветви или приведенная интенсивность потока заявок. Теперь для определения вероятности Р₀ в системе воспользуемся нормировочным условием Р₀+Р₁+...+Р_n=1.

Подставляя в это уравнение значения Р₁,Р₂,...,Р_n из (3.8), окончательно получим

P₀ = (1 + ρ₁ + ρ₁ρ₂ +... + ρ₁ρ₂...ρ_n)^-1 (3.9)

Подставляя Р₀ в каждое из уравнений системы, получим формулы для всех состояний системы. Они имеют вид:

ρ₁ρ₂...ρ_kP₀; k = 1,n.

Ф о р м у л ы Л и т т л а. Литтл получил зависимости между временем пребывания заявки в системе или в очереди и средним их числом в системе или очереди. Приводим эти замечательные формулы без доказательства

- среднее время пребывания заявки соответственно в системе и в очереди;

Z_смо, l_оч - среднее число заявок соответственно в СМО и в очереди; λ - интенсивность потока заявок.

Формулы (3.10) справедливы для любой СМО без потерь заявок при любом распределении времени обслуживания и любой дисциплине обслуживания.

Примечание

Терминология и обозначения

В теории массового обслуживания используются специальные термины и символы для обозначения СМО. СМО обозначается тремя символами: первый указывает тип входящего потока; второй указывает тип потока обслуживания; третий показывает число каналов СМО.

Для обозначения потоков заявок приняты следующие сокращения:

М – простейший (марховский) поток с экспоненциальной функцией распределения времени между отдельными заявками, а также простейший поток обслуживания;

D – детерминированный входящий поток и детерминированный поток обслуживания;

Е – эрланговские потоки обслуживания и входящий;

G – произвольные потоки заявок в системе;

GI – рекуррентные потоки заявок в системе;

Число каналов обозначается цифрой, например: М/М/1 – одноканальная СМО с простейшими потоками.