Линейные отображения, их связь с подпространствами и композиция

Теорема 8.6. Гомоморфный образ подпространства является подпространством. Пусть f: V→U - линейное отображение линейных просторов. Когда V' - подпространство в V, тогда f (V') - подпространство в U. Доказательство: Напомним, что . Используем критерий подпространства. Æ, , тогда такие, что и , тогда . . Когда и , тогда . Если взять , получим частный случай свойства. ■

Опр. 8.7. Пусть f: V→U - линейное отображение, тогда является подпространством в , которое обозначается .

Теорема. 8.8. Гомоморфный праобраз подпространства является подпространством, т.е. если f: V→U - линейное отображение, U ’ – подпространство U, тогда - подпространство V. В частности . - подпространство V. Доказательство. Напомним, что . По , значит Æ. Пусть тогда и , значиться , откуда , и . , откуда , значит .

Частные случаи получаются, когда взять или . ■

Азн. 8.9. называется ядрам отображения f и обозначается Ker f.

Св-во 8.10. Гомоморфный образ линейнозависимой системы векторов является линейно зависимая система векторов. Доказательство: (*) - линейно зависимая система V. f: V→U - линейное отображение. Т.к. (*) – лин. завис., то не все равны нулю, тогда . По линейности имеем: , не все равны нулю, то - линейно зависимая. ■

Следствие 8.11. Пусть f: V→U - лин. отображение, - линейно зависимое подмножество U, тогда - линейно зависимая в V. Доказательство: Очевидно. ■

Теорема. 8.12. Композиция линейных отображений является линейным отображением. V, U, W -линейные пространства над P. и - линейные отображения. Тогда - линейное отображение. Доказательство. По 8.3 для произвольных векторов и скаляров имеет место: ■