Матрица системы векторов. Определение и свойства

Пример 6.0. Рассмотрим пространство V₂ и ее привычный базис , . Векторы = +2 , =3 +4 - неколлинеарные, значит они линейно независимые и образовывают базис V₂. Вектор v =2 +6 - столбец координат X = в базисе , .. Найдем его координаты y_1, y₂ в базисе _, .. По определению y_{1 +} y₂ = , откуда y₁ ( +2 ) +y₂ ( 3 +4 ) = 2 +6 , или ( y₁+3y₂ ) + ( 2y₁+4y₂ ) = 2 +6 . Поскольку , - базис, значит , из чего следует, что , откуда получаем ответ: Y = .

Опр. 6.1. V - линейное пространство над P, dim V =n, данный базис V, , (1) и произвольная система векторов (2). Пусть " i = + +… + = (3). Матрица А =()_n´m называется матрицей системы векторов (2) в базисе (1). Внимание! Матрица системы векторов записывается по столбцам.

Пример 6.2. V _2. – базис. В этом базисе система векторов ; ; имеет матрицу A = . Система векторов в этом базисе моей матрицу , а система векторов ; - матрицу T = . Св-во 6.3. Матрица базиса относительно себя единичная.

Опр. 6.4. Пусть (1) и , ,…, (4) - базисы пространства V. Матрица системы векторов (4) в базисе (1) называется матрицей перехода к новому базису. (Матрицей перехода ли от (1) к (4), матрицей преобразования ли координат.)

Теорема 6.5. Матрица перехода от базиса к базису - невырожденная. Доказательство. (1) - базис, значит "k і А =() - матрица (4) в (1). Поскольку (4) – базис "j= . Когда В =(), тогда . Получили но (1) - базис, значит, когда i = j, тогда , а когда i ≠ j, j, тогда . Со второй стороны, , значит, , A×B = Е_n. (5) – единичная матрица. Следует, что А и В - невырожденные и взаимно-обратные. ■

Вывод. 6.6. Матрицы перехода от (1) к (4) и от (4) к (1) - взаимно обратные. Доказательство. Сохраним обозначения док-ва 6.5. А – матрица перехода от (1) к (4), В – матрица перехода от (4) к (1). Из того, что A×B = Е_n (5) – единичная матрица, значит, что В=А^–1, А=В^–1. ■

Тогда , значит, , и C = A×Y. ■

Теорема 6.7. Когда А - матрица перехода от (1) к (4), и имеет в базисе (1) столбец координат , а в базисе (2) , тогда C = A×Y. Доказательство. Сохраним обозначения теоремы 6.5. Пусть и эти векторы имеют столбцы координат C, Y.