Линейно зависимые системы векторов. Критерий линейной зависимости

Опр. 2.1. V - линейное пространство над P. Системой векторов называют конечную последовательность векторов , ,…, (1)

Опр. 2.2. Подпоследовательность , ,…, (2) последовательности (1), где 1£ i₁ < i₂ < … < i_k £ nназывается подсистемой системы векторов (1).

Опр. 2.3. Пусть дана система и последовательность l₁, l₂, …, l_n (3) скаляров (элементов из P). Тогда линейной комбинацией системы с коэффициентами (3) называется вектор из V l₁ + l₂ +…+ l_n (4) и - называются коэффициентами линейной комбинации (4).

Опр. 2.4. Линейная комбинация (3) называется тривиальной, когда все ее коэффициенты равные нолю.

Св-во 2.5. Тривиальная линейная комбинация произвольной системы векторов равная .

Доказательство. Следует из 1.8 и п. 2 определения 1.1. ■

Опр. 2.6. Когда только тривиальная комбинация системы равная , тогда система называется линейно независимой.

Св-во 2.6. Система векторов является линейно независимою тогда и только тогда, когда из того, что l₁ +…+ l_n = следует, что l₁= l₂= …=l_n=0.

Доказательство. 2.6, по сути дела, является переформулировкой 2.6. из учетом 2.5.■

Опр. 2.7. Система называется линейно зависимою, когда она не является линейно независимою.

Св-во 2.7. Система является линейно зависимою тогда и только тогда, когда существуют l₁, l₂, …, l_n Î P не все равные нолю такие, что l₁ +…+ l_n = .

Доказательство. Это переформулировка 2.6. и 2.7. ■