Координаты вектора в базисе. Определение и свойства

Св-во 5.9. Пусть _{, ,...,} (1) - базис пространства V. Каждый вектор Î V единственным образом раскладывается по базису, то есть существует единственная последовательность l_1, l_{2, …,} l_n ÎP такая, что
= l₁ + l₂ +_... +l_n (3). Доказательство. Существование очевидно из условия полноты. Докажем единственность. Пусть =m₁ +m₂ + _... +m_n , тогда l₁ +l₂ + _... +l_n =m₁ +m₂ + _... +m_n , значит
(l₁ – m₁) + (l₂ – m₂) +... + (l_n – m_n) = . Из условия линейной независимости получаем, что
l₁=m_1, l₂=m_2,..., l_n=m_n. ■

Опр. 5.10. Упорядоченная n- ка ( l ₁;...; l _n) из расписания (3) называется координатами вектора в базисе (1). Координаты вектора записывают в строчку ( l ₁;...; l _n) в ли столбец .

Св-во 5. 11. Когда вектор имеет в базисе (1) столбец координат X = , тогда " l ÎR, вектор l имеет в (1) столбец координат l C = . Доказательство. По условию, = x₁ +x₂ +... +x_{n ,} откуда l =lx₁ +lx₂ +...+lx_n .■

Св-во 5.12. Когда в базисе (1) вектор имеет столбец координат X = а вектор имеет столбец координат Y = , тогда + имеет в этом базисе столбец координат X + Y. Доказательство. По условию, =x₁ +x₂ +... +x_n , =y₁ +y₂ +... +y_n . Тогда, + = (x₁ + x₂ +... + x_n ) + (y₁ + y₂ +... +y_n ) =
= (x₁ + y₁ ) + (x₂ + y₂ ) +...+ (x_n + y_n ) = (x₁ + y₁) + (x₂ + y₂) +...+ (x_n + y_n) . ■

В. 5. 13. Когда в базисе (1) векторы () имеют столбцы координат X_{i ,}, тогда " l _i ÎP вектор имеет столбец координат . ( Доказательство. ММИ по m. ■)