Пример. Составим расширенную матрицу этой системы:

Составим расширенную матрицу этой системы:

.

Нетрудно увидеть, что данная система имеет два базиса переменных: . Решим эту систему, например, относительно первого базиса: ; здесь переменные , - свободные и могут принимать произвольные значения, по которым затем определяются значения базисных переменных.

Этот пример помогает заметить следующее очевидное утверждение: если система имеет базис переменных, то она разрешима относительно этого базиса, при этом при наличии свободных переменных система будет иметь бесконечно много решений, а при их отсутствии значения базисных переменных определяются однозначно.

Метод Гаусса, описанный ниже, позволяет с помощью элементарных преобразований привести систему к виду, содержащему базис переменных, либо установить отсутствие решения.

Шагом алгоритма Гаусса будем считать переход от системы линейных уравнений к равносильной системе, имеющей большее число столбцов с единственным ненулевым элементом. Для удобства пользования вместо системы уравнений будем преобразовывать соответствующую ей матрицу. Ниже приведено описание шага алгоритма. Алгоритм прекращает работу при установлении неразрешимости системы или при невозможности выполнения очередного шага.