Метод Гаусса. Математическая часть

Рассмотрим систему уравнений относительно неизвестных

(1.1)

Ее решениями являются такие наборы значений переменных , которые превращают каждое уравнение системы в тождество. Система (1.1) однозначно определяет «расширенную» матрицу с столбцами, в которой матрицы и просто расположены рядом. В то же время любой матрице с столбцами можно сопоставить систему линейных уравнений с переменными: для этого достаточно считать элемент на позиции коэффициентом при переменной в -м уравнении, если , и свободным членом -го уравнения, если . В этих случаях матрицу и систему будем называть соответствующими. Строку расширенной матрицы будем называть противоречивой, если последний ее элемент отличен от нуля, а остальные элементы нулевые.

Утверждение 1.1. Если расширенная матрица содержит хотя бы одну противоречивую строку, то соответствующая ей система линейных уравнений не имеет решения.

Аналогично элементарным преобразованиям векторов можно рассмотреть элементарные преобразования строк матрицы:

- умножение строки на любое ненулевое число (элементарное преобразование типа 1);

- прибавление к одной из строк другой, умноженной на любое число (элементарное преобразование типа 2).

Утверждение 1.2. Элементарные преобразования строк расширенных матриц не изменяют множества решений соответствующей системы уравнений.

Если удалить из расширенной матрицы последний столбец, а затем все нулевые строки (если таковые имеются), то получим так называемую приведенную матрицу .

Пусть приведенная матрица имеет размер (). Если в существует столбцов, в которых ровно по одному ненулевому элементу, причем никакие два их этих ненулевых элементов не находятся в одной строке, то переменные, соответствующие эти столбцам, называются базисными, остальные переменные – свободными. Базисные переменные составляют так называемый базис переменных.