Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины

Определение 1. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х сплотностью вероятности f(x) называют величину несобственного интеграла (если он сходится):

М(Х)= .

Определение 2. Дисперсией непрерывной случайной величины X, математическое ожидание которой М(Х) = а и функция f(x) является ее плотностью вероятности, называется величина несобственного интеграла (если он сходится):

D(Х)= .

Можно показать, что математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины имеют те же свойства, что и математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины.

Для непрерывной случайной величины среднее квадратическое отклонение s(Х) определяется, как и для дискретной величины, формулой s(Х) = .

Пример 9.11. Случайная величина X задана плотностью вероятности

Определим математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение величины X.

Решение. Согласно определениям математического ожидания непрерывной случайной величины и дисперсии непрерывной случайной величины имеем

М(Х)= =

D(Х)= ₌ = =

и, наконец, s(Х) = .

4. Мода x _mod, медиана x _med и p- квантиль x_p случайной величины.

Модой x _modслучайной величины называется значение, для которого вероятность p_i (для дискретной случайной величины X) или плотность f (x) (для непрерывной случайной величины X) достигает локального или абсолютного максимума.

Медианой x _med случайной величины X называется значение, для которого выполняется условие p { X < x _med}= p { X ≥ x _med}. Медиана, как правило, существует только для непрерывных случайных величин. Для дискретных случайных величин это понятие вводится с известной долей условности.

В точке x = x _med площадь фигуры, ограниченная кривой y = f (x) графика плотности распределения и осью OX делится на две равные по площади фигуры.

p-Квантилью x_p случайной величины X называется значение, для которого выполняется условие p { X < x_p }= F (x_p)= p. Очевидно, что медиана – это квантиль x _0,5.