Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
1. Интегральная функция распределения. Для непрерывной случайной величины в отличие от дискретной нельзя построить таблицу распределения. Поэтому непрерывные случайные величины изучают другим способом, который мы сейчас рассмотрим. Пусть X — непрерывная случайная величина с возможными значениями из некоторого интервала (а; b) и х — действительное число. Под выражением Х<х понимается событие «случайная величина Л' приняла значение, меньшее х». Вероятность этого события Р(Х< х) есть некоторая функция переменной х
Р(х) = Р(Х < х).
Определение. Интегральной функцией распределения (или кратко функцией распределения) непрерывной случайной величины X называется функция F(х), равная вероятности того, что X приняла значение, меньшее х:
F(х) = Р(Х < х). (9.4)
Отметим, что функция распределения совершенно также определяется для дискретных случайных величин.
Укажем свойства, которыми обладает функция F(х).
1. 0 £ F(х) £ 1.
Это свойство следует из того, что F(х) есть вероятность.
2. F(х) — неубывающая функция, т.е. если х 1 < х2, то F(х}) £F(х2).
Доказательство. Предположим, что х 1 <х2. Событие «X примет значение, меньшее х 2» можно представить в виде суммы двух несовместимых событий: «X примет значение, меньшее х 1 и «X примет значение, удовлетворяющее неравенствам х 1 £ Х< х 2». Обозначим вероятности последних двух событий соответственно через Р(Х< х 1) и Р(х 1 £Х<х2). По теореме о вероятности суммы двух несовместимых событий
Р(Х < х2) = Р(Х< х 1) + Р(х 1 £Х<х2).
откуда с учетом (9.4)
Р(х 1 £Х<х2)= F(х2)- F(х1). (9.5)
Так как вероятность любого события есть число неотрицательное, то Р(х 1 £Х<х2)³ 0 и, значит, F(х2)³F(х1).
Формула (9.5) утверждает свойство 3.
5. Вероятность попадания случайной величины Х в полуинтервал [а; b) равна разности между значениями функции распределения в правом и левом концах интервала (а; b):
Р(а£Х<b) = F(b)-F(а). (9.6)
Пример 9.9. Случайная величина X задана функцией распределения
Найдем вероятности того, что в результате испытания X примет значение, принадлежащее полуинтервалу [0; 2).
х
Решение. Так как на полуинтервале [0; 2) F(х) = то
Р( 0 £Х< 2 ) = F( 2 )-F( 0 ) =
В дальнейшем случайную величину X будем называть непрерывной, если непрерывна ее функция распределения F (х) с непрерывной или кусочно-непрерывной производной.
4. Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет какое-либо заранее заданное значение, равна нулю:
Р(Х = х 1 ) = 0. (9.7)
Доказательство. Положив в (9.5) х2 = х 1 + D х, будем иметь
Р(х 1 £ X < х 1 + D х) = F (х 1 + D х) - F(х 1). (9.8)
Так как F(х) — непрерывная функция, то, перейдя в (9.8) к пределу при D х ®0, получим искомое равенство (9.7). Из свойства 4 следует свойство 5.
5. Вероятности попадания непрерывной случайной величины в интервал, сегмент и полуинтервал с одними и теми же концами одинаковы
Р(a<X <b) = Р(a£ X £ b) = Р(a£ X <b) = Р(a<X £ b). (9.9)
6. Если возможные значения случайной величины X принадлежат интервалу (а; b), то 1) F(х) = 0 при х £а; 2) F(х) = 1 при х³b.
Доказательство. 1) Пусть х 1 £а. Тогда событие Х< х 1 невозможно, и, следовательно, вероятность его равна нулю.
2) Пусть х 2 ³ b. Тогда событие X < х2 достоверно, и, следовательно, вероятность его равна 1.
Следствие. Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей числовой оси, то справедливы следующие предельные соотношения:
F(- ¥) = =0; F( ¥) = = = 1.
2. Дифференциальная функция распределения. Дифференциальной функцией распределения непрерывной случайной величины ДГ(или ее плотностью вероятности) называется функция f(х) равная производной интегральной функции: f(х) = F’(х)
Так как F(х) — неубывающая функция, то f(х) ³ 0 (см. подразд. 3.7, п. 1).
Теорема 9.3. Вероятность попадания непрерывной случайной величины X в интервал (а; b) равна определенному интегралу от дифференциальной функции распределения величины X, взятому в пределах от а до b:
Р(а<Х<b)= . (9.10)
Доказательство. Так как F(х)является первообразной для f(х), то на основании формулы Ньютона— Лейбница (см. подразд. 4.4, п. 2)
=F(b)-F(а). (9.11)
Теперь с учетом соотношений (9.6), (9.9), (9.11) получим искомое равенство.
Из (9.10) следует, что геометрически (см. подразд. 4.3, п. 2) вероятность Р(а<X<b) представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком плотности вероятности у = f (х) и отрезками прямых у = 0, х = а и х = b.
Следствие. В частности, если f(х) ) — четная функция и концы интервала симметричны относительно начала координат, то
Р(-а<Х<a)= Р( ½ Х ½ <a)= 2 (9.12)
Заменяя в формуле (9.11) а на -¥ и b на х, получаем
F(x)-F(- ¥ )= .
откуда, в силу найденного выше следствия (см. п. 1),
F(x)= . (9.13)
Формула (9.13) дает возможность отыскать интегральную функцию распределения F(x) по ее плотности вероятности.
Отметим, что из формулы (9.13) и из только что отмеченного следствия вытекает, что
=1 (9.14)
Пример 9.10. Задана плотность вероятности случайной величины X
f(x)= (- ¥< x < +¥)
Требуется найти коэффициент А, функцию распределения F(х) и вероятность попадания случайной величины Х винтервал (0; 1).
Решение. Коэффициент А найдем, воспользовавшись соотношением (9.14). Так как
= = + = A arctg x + A arctg x =
= A arctg (+¥)- A arctg (-¥)= Аp,
то Аp = 1, откуда А = 1/ p.
Применяя формулу (9.13), получаем функцию распределения F(х):
F(х) = = A arctg x = [ arctg x- arctg (-¥)]=
== + arctg x.
Наконец, формулы (9.6) и (9.9) с учетом найденной функции F(х) дают
P (0< x < 1)= F( 1 ) - F( 0 ) = .
Дата публикования: 2014-11-04; Прочитано: 975 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!