Формализация системы в виде агрегата

При выборе той или иной схемы формализации системы всегда возникает противоречивая задача – получить как можно более простую модель и обеспечить требуемую точность. При таком подходе различные системы могут быть представлены в виде различных достаточно простых математических схем.

Для анализа и синтеза структуры сложной системы с разнородными элементами (детерминированными, стохастическими, непрерывными, дискретными) необходима унификация математического описания состояний и операторов для всех элементов системы на основе единого формального языка описания системы.

Унифицированной математической моделью разнородных элементов системы является агрегат, который позволяет на едином языке представлять описания детерминированных и стохастических объектов, функционирующих как непрерывно, так и дискретно.

Понятие агрегата определяется на основании единого подхода к формализации процесса функционирования системы:

- состояние системы в данный момент времени определяется предыдущими состояниями и входными сигналами, поступившими в данный момент времени и ранее;

- выходной сигнал в данный момент времени определяется состояниями системы и входными сигналами, относящимся к данному и предшествующим состояниям.

С позиций моделирования агрегат выступает как универсальный переработчик информации: за конечный интервал времени он воспринимает конечное число входных сигналов и выдает конечное число выходных сигналов. Из входных сигналов могут быть выделены управляющие сигналы.

Формальная интерпретация каждого положения.

Входные сигналы. Агрегат имеет входные контакты, на которые в моменты времени t_j, j = 1, 2,...; t_j+1 t_j, поступают входные сигналы. Входной сигнал х является элементом некоторого множества Х: х Є Х. Входной сигнал является вектором, размерность которого равна числу входных контактов, и на каждый контакт поступает "своя" координата входного сигнала. Входной сигнал может быть представлен конечным набором элементарных сигналов х₁(t),..., х_n(t), х_i Є Х_i, i = 1, n одновременно возникающих на входе агрегата.

На другие особые контакты системы поступают управляющие сигналы в моменты времени τ_i. Управляющий сигнал g является элементом множества Г: g Є Г.

За конечный интервал времени в агрегат поступает конечное число входных и управляющих сигналов. Совокупность входных сигналов, расположенных в порядке их поступления называется входным сообщением, или (х) -сообщением, соответственно управляющих сигналов - управляющим сообщением или (g)-сообщением.

Выходной сигнал агрегата у является элементом некоторого множества У и определяется по состояниям агрегата z (t) при помощи оператора G. За конечный интервал времени оператор выдает конечное число выходных сигналов. В общем случае оператор является случайным оператором.

Совокупность выходных сигналов, упорядоченная относительно времени выдачи, называется выходным сообщением или (у)-сообщением.

Состояния системы. В каждый момент времен t Є (0, T), в который функционирует система, агрегат находится в одном из возможных состояний. В общем случае множество Т может быть непрерывным, дискретным или дискретно-непрерывным.

К системам, функционирующим в дискретном времени относятся вычислительные устройства. К системам, функционирующим в непрерывном времени относятся механические, электрические системы, системы автоматического управления непрерывными объектами. Дискретно-непрерывный характер имеют иерархические системы автоматизированного управления технологическими процессами: на нижних уровнях управление может рассматриваться в непрерывном времени, на более высоких – в дискретном.

Функционирование системы во времени рассматривается как процесс перехода ее из состояния в состояние: состояние системы изменяется как функция времени z (t), называемая фазовой траекторией.

Функции z (t) (или их вероятностные характеристики) могут зависеть от ряда параметров α_m, m = 1, 2,..., m *, α Є А.

В общем случае последовательности вида (t_j, х_j) оказываются реализациями случайных последовательностей (θ_j, X_j) с законом распределения L [ θ, X ], последовательности вида (t_j, g_i) - реализациями случайных последовательностей (θ_i, λ_i) с законом распределения L [ θ_i, λ_i ]. Функции z (t) представляют собой реализации случайных функций Z (t) с совокупностью многомерных законов распределения L [ Z (t)].

Состояние системы может определяться набором действительных чисел. Например, положение самолета в данный момент времени можно описать вектором фазовых координат (z₁, z₂, z₃), где z₁ – наклонная дальность, z₂ - азимут, z₃ - угол места.

В начальный момент времени t₀ состояния z имеют значения, равные z₀ (в общем случае задаются законом распределения L₀[Z (t₀)]).

Состояния агрегата z (t) для произвольного момента времени t > t₀ определяются по предыдущим состояниям оператором перехода Н:

z (t) = Н [z (t₀), t].

Если оператор случайный, это означает, что данному z (t) ставится в соответствие в общем случае не одно определенное z (t), а множество значений z (t) с некоторым законом распределения, зависящим от вида оператора Н. Конкретное значение z (t) определяется как реализация в соответствии с этим законом распределения.

Вид оператора перехода Н зависит от того, содержит ли рассматриваемый интервал времени моменты так называемых особых состояний агрегата или не содержит. Под особыми состояниями агрегата будем понимать его состояния в моменты получения входного либо управляющего сигналов или выдачи выходного сигнала. Все остальные состояния будем называть неособыми.

Из особых состояний агрегат может переходить в новое состояние скачком.

Наряду с z (t) вводится состояние z (t + 0), в которое агрегат переходит за малый интервал времени. Будем считать, что момент (t + 0) для любого t₁ > t принадлежит полуинтервалу (t, t₁].

Принятые обозначения для сообщений, состоящих из сигналов, поступающих в агрегат в течение полуинтервала времени (t₁, t₂ ]: входное сообщение обозначается как (x ] _t1 ^t2, управляющее сообщение – как (g ] _t1 ^t2.

Для любого полуинтервала времени (t₁, t₂ ] можно построить совокупность входных и управляющих сигналов, упорядоченную относительно моментов их поступления в агрегат - (х, g)-сообщения - (x, g ] _t1 ^t2.

Пусть t '_n – момент поступления в агрегат входного сигнала х '_n, тогда

z (t '_n + 0) = V '[ t '_n, z (t '_n), х'_n, g (t '_n), α ],

где g (t '_n) – последний управляющий сигнал, поступивший в агрегат в момент времени t < t '_n, α - параметр.

Если t ''_n – момент поступления в агрегат управляющего сигнала g ''_n, то

z (t ''_n + 0) = V ''[ t ''_n, z (t ''_n), g ''(t ''_n), α ].

Если в момент t _n в агрегат поступает сигнал (х_n, g_n) ∈ Х х Г, то состояние агрегата изменяется в два этапа: сначала в соответствии с оператором V '', а затем – с оператором V ':

z (t _n + 0 + 0) = V '{ t _n, V ''[ t _n, z (t _n), g _n, α ], х_n, g _n, α }.

Если полуинтервал (t _n, t _n+1] не содержит ни одного момента поступления сигналов, то для t ∈ (t _n, t _n+1]

z (t) = U [ t, t _n, z (t + 0), α ].

Во множестве состояний Z определяется подмножество Z ^Y, зависящее в общем случае от g и α, такое, что, если для данного момента времени t * состояние z (t') ∈ Z ^Y при t * - ε < t ' < t *, где ε> 0 – достаточно малое число, а z (t*) ∈ Z ^Y, то t* является моментом выдачи выходного сигнала

y = G '' [ t *, z (t *), g (t *), α ].

Подмножество Z ^Y часто обозначается Z ^Y(g, α), подчеркивая этим возможность его изменения в зависимости от g и α.