Дискретно-детерминированная модель

Для модели данного класса характерны два свойства, которые имеют доминирующее значение. Первым свойством моделей данного класса является полное отсутствие случайностей. А вторым - рассматривание явлений в объекте моделирования как изменяющийся во времени процесс, который описывается временными рядами. Для них характерно пошаговое изменение времени, причем этот шаг определен и постоянен. Для построения такого вида моделей используется два аппарата: конечно-разностные уравнения и теория конечных автоматов

В неопределенной модели неопределенные закономерности описывают случайные события (могут протекать по- разному при одних и тех же условиях). Неопределенные закономерности (параметры, связи) должны быть выявлены уже на концептуальной стадии создания модели.

Неопределенность понимается в том смысле, что соответствующие характеристики системы находятся в условиях приближения и неполноты информации. В «чистом виде» неопределенных процессов нет - описание неопределенности может быть разным в зависимости от количества и качества имеющейся информации (имеется не вся необходимая информация, элементы могут быть описаны по аналогам, что не всегда соответствует целям исследований). Характеристики системы зависят от большого количества различных факторов (некоторые из них могут быть вообще неизвестны), выбор для моделирования существенных факторов, влияющие на систему, может иметь неоднозначный характер (как объективный, так и субъективный).

Неопределенность может возникнуть на этапе содержательной модели (лингвистическая неопределенность – неоднозначность определений, смысла фраз, нечеткость описания явления или процесса) и на этапе концептуальной модели (неопределенность принятых гипотез и предположений).

Математически неопределенность может быть описана стохастически, статистически, с позиций нечетких множеств.

Стохастическое описание используется тогда, когда неопределенные параметры носят вероятностный (случайный) характер. При этом необходимо, чтобы был определен закон распределения таких случайных параметров.

В стохастической системе состояние и выход – случайные величины, операторы перехода и выхода не определяют конкретные значения состояния и выхода, как в детерминированном случае, а лишь устанавливают вероятности их реализации.

Статистическое описание является частным случаем стохастического – заданы только выборочные оценки каких-либо характеристик случайной величины или наборы некоторых случайных параметров.

При описании с позиций нечетких множеств неопределенный параметр задается некоторым множеством возможных его значений, определяющих степень принадлежности объекту (например, при выделении элементов из внешней среды). Нечеткое множество описывает систему с нечеткими, размытыми границами.

Любому реальному процессу присущи случайные флюктуации (отклонения от средних значений). Однако выбор детерминированной или вероятностной математической модели зависит от того, учитываются ли случайные факторы. Выделение детерминированных моделей в отдельный класс объясняется широким их применением и разнообразием математических методов решения детерминированных задач.

Если хотя бы один параметр модели или ограничительная функция имеет в качестве своих значений случайный вектор или случайную величину, то это случайная (стохастическая) модель. В этом случае под однозначностью определения характеристик моделируемого процесса понимается однозначное определение распределений вероятностей для характеристик процесса при заданных распределениях вероятностей для начальных условий и возмущений.

Стохастический характер модели связан с наличием в объекте и среде различных неконтролируемых, но существенных факторов, которые можно моделировать статистически. Состояние системы в этом случае Y=F(X, U, E(t)), где E(t) – случайный процесс, моделирующий имеющуюся неопределенность объекта и среды. Эта неопределенность может быть связана как с быстрым изменением параметров объекта, так и с помехами, накладывающимися на измеряемые значения сигналов на входе и выходе объекта.

Стохастический объект и его модель ведут себя неоднозначно в одинаковых ситуациях, что моделируется случайным вектором E(t), статистические свойства которого должны быть заданы. В простейшем случае Y=F(X, U)+E(t).

Примером стохастического объекта является любой биологический организм, который в одинаковых условиях ведет себя по-разному. В этом случае Y описывает поведение объекта, которое строго зависит от внешних условий, а все отклонения от этого регулярного поведения образуют «случайную помеху» E(i).

Переход от детерминированной модели к стохастической осуществляется таким образом, чтобы она отражала в себе случайный характер данных и самой модели. Способ перехода выбирается в зависимости от сведений об изучаемой модели: уверенности в правильности и надежности данных и модели. При этом возможно, что эти сведения ошибочны.

В общем случае для стохастических объектов оператор является случайным (например коэффициенты линейного дифференциального уравнения, весовые функции и т.д.).

Непрервно-детерминированные модели используются при описании и исследовании объектов, для которых отличительными характеристиками являются две следующих:

- отсутствие случайностей при работе и управлении объектом моделирования;

- явления в объектах моделирования рассматривают как непрерывные процессы, то есть время в данных моделях является непрерывной величиной.

Дискретно-стохастические модели соответствует объектам, для которых характерно случайное поведение, а время в них можно рассматривать как дискретную величину.

Непрерывно-стохастические модели. Основной схемой формализованного описания систем, для которых характерны непрерывный характер изменения времени и наличие случайностей в поведении, служит аппарат систем массового обслуживания. Именно для таких систем характерны стохастический характер функционирования (случайное появление заявок на обслуживание), завершение обслуживания в случайные моменты времени, наличие входного и выходного потока заявок, наличие приборов обслуживания, поток событий, существование Время рассматривается как непрерывный процесс, имеются случайности, сама система представляет собой систему массового обслуживания.

Статические и динамические модели

Существенным признаком классификации моделей является их возможность описывать изменения параметров объекта во времени.

Статичный или динамичный характер системы (что отображается в модели) определяется в зависимости от целей моделирования. При построении модели основным является сравнение времени существенных изменений внешних воздействий и соответствующих характерных временных переходов объекта в новое равновесное состояние с окружающей средой и между элементами внутри системы.

В статической модели можно выделить важнейшие свойства и параметры (или сочетания), определяющие качество системы, не зависящие от времени (надежность, стоимость, долговечность и др.). В статической модели объект сохраняет состояние равновесия: параметры остаются постоянными при постоянных внешних воздействиях.

Модель называется статической, если среди параметров, участвующих в описании модели, нет временного параметра. Статическая модель в каждый момент времени дает лишь «фотографию» системы, ее срез.

Закон Ньютона F = ma — это статическая модель движущейся с ускорением а материальной точки массой т. Эта модель не учитывает изменение ускорения от одной точки к другой.

При таком подходе можно ставить оптимизационные задачи по критерию, выраженному этой функцией. В случае линейной целевой функции, линейных неравенств, линейной математической модели задачи технико-экономического содержания (например, распределение ресурсов) решаются как задачи линейного программирования.

Если изменения параметров во времени происходят столь медленно, что ними можно пренебречь, то такую модель называют квазистатической.

Модель динамическая, если среди параметров модели есть временной параметр, т. е. она отображает систему (процессы в системе) во времени.

В динамической модели от времени зависят независимые переменные (параметр процесса), неизвестные функции (фазовые переменные), характеризующие состояние системы (перемещения, скорости, ускорения элементов системы, силы и моменты, давление и расход жидкости в трубопроводе, напряжение и сила тока в электрической сети и др.).

Модель S = gt^z/2 — динамическая модель пути при свободном падении тела. Динамическая модель типа закона Ньютона: F(t) = a(t)m(t). Еще лучшей формой динамической модели Ньютона является: F(t) = s"(t)m(t).

Динамические модели позволяют рассчитать стационарные или нестационарные режимы объектов. Стандартные динамические модели включают переменные и соотношения между ними:

- вектор независимых переменных X;

- добавочную независимую переменную t, называемую временем, хотя она может не представлять физическую временную размерность;

- вектор неизвестных параметров;

- вектор переменных Y состояния системы, зависящий от t, X и Z.

Эти функции, например, определяются неявно с помощью системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка;

- вектор наблюдаемых переменных Z, точными значениями которых ZT являются заданные функции от переменных состояния и от других переменных: ZT = Zr(t, X, Y,).

Общеизвестный специальный случай – переменные состояния наблюдаются непосредственно, т.е. Z = Y.

Стандартные динамические модели характеризуются множеством переменных состояния системы, которые изменяются со временем (или в зависимости от некоторой другой независимой переменной) в соответствии с определенными дифференциальными уравнениями первого порядка. Начальные условия могут быть известны полностью или частично.

Различают два основных типа динамических систем:

– с дискретными состояниями (множество состояний конечно или счетно);

– с непрерывным множеством состояний.

Системы с дискретными состояниями характеризуются тем, что в любой момент времени можно однозначно определить, в каком именно состоянии находится система. Для такой идентификации обязательно нужно знать тот признак, который отличает одно состояние системы от другого. Например, при исследовании систем массового обслуживания в качестве такого признака обычно используют число заявок в системе. Соответственно, изменение числа заявок в системе интерпретируется как переход системы в новое состояние.

Если же не удается подобрать такой признак, либо его текущее значение невозможно зафиксировать, то систему относят к классу систем с непрерывным множеством состояний.

Смена состояний может происходить либо в фиксированные моменты времени, множество которых дискретно (например, поступление новых заявок на обслуживание), либо непрерывно (изменение температуры тела при нагревании). В соответствии с этим различают системы с дискретным временем переходов (смены состояний) и системы с непрерывным временем переходов (точнее, «живущие» в непрерывном времени).

По условиям перехода из одного состояния в другое различают детерминированные системы и стохастические.

В детерминированных системах новое состояние зависит только от времени и текущего состояния системы. Другими словами, если имеются условия, определяющие переход системы в новое состояние, то для детерминированной системы можно однозначно указать, в какое именно состояние она перейдет.

Для стохастической системы можно указать лишь множество возможных состояний перехода и, в некоторых случаях, - вероятностные характеристики перехода в каждое из этих состояний.

Состояние системы наблюдается в различные моменты времени, но иногда переменные состояния не являются непосредственно измеряемыми, и вместо них приходится измерять связанные с ними наблюдаемые переменные. Неизвестные параметры могут появляться в начальных условиях, в дифференциальных уравнениях и в уравнениях наблюдений. В последнем случае они представляют неизвестные характеристики измерительных приборов, например константы калибровки.

Если в модели объекта содержатся дифференциальные уравнения порядка выше первого, сложность их анализа возрастает с ростом порядка уравнения (или с ростом числа дифференциальных уравнений в системе, поскольку уравнение т-го порядка можно преобразовать в систему из т уравнений 1-го порядка). Другая трудность, возникающая иногда при анализе систем дифференциальных уравнений, связана с особенностями задания начальных условий.

Чаще всего начальные условия задаются при одном и том же значении независимой переменной.

Для протекания химических реакций, например, начальными условиями обычно служат значения концентраций в один и тот же момент t = 0; в описаниях реакторов – это концентрации и температура в одной и той же точке на входе в аппарат.

Задачи с начальными условиями, заданными таким образом, называются задачами Коши.

Задачи, в которых различные начальные условия заданы в разных точках. Это краевые задачи.

Например, во многих аппаратах с противотоком часть условий может быть задана со стороны входа одного потока, часть – со стороны входа другого.

Основная форма динамической математической модели - дифференциальные уравнения.

Стационарные и нестационарные модели.

Стационарные системы – такие системы, свойства которых не изменяются во времени.

Реакция стационарной системы на любой заданный тип возмущения зависит только от интервала времени между моментом начала действия входного возмущения и данным моментом времени, т.е. свойство стационарности означает, что процесс преобразования входных сигналов инвариантен относительно сдвига, как от текущего времени, так и от момента приложения входного сигнала. Реакция нестационарной системы зависит как от текущего времени, так и от момента приложения входного сигнала. В этом случае при сдвиге входного сигнала во времени (без изменения его формы) выходные сигналы не только сдвигаются во времени, но и изменяют свою форму.

Примеры стационарных моделей.

При ламинарном течении жидкости (скорость течения невелика) в длинной трубе постоянного сечения на достаточно большом удалении от входа частицы жидкости движутся параллельно оси трубы, и профиль скоростей частиц в сечении остается с течением времени неизменным – параметры модели не зависят от времени.

Термодинамическое равновесие обшивки самолета при полете в плотных слоях атмосферы. Обшивка, получая тепловую энергию от воздушного потока, одновременно излучает ее в окружающее пространство, в соответствии с законом Стефана-Больцмана тем больше, чем выше ее температура (ε _Т = σ Т ⁴, ε _Т – интегральная излучательная способность – энергия излучения с единицы поверхности в единицу времени, σ – постоянная).

В общем случае состояние системы z (t) и выход системы y (t) являются функциями не только z (t₀), и Х_t0t, но и самого интервала t₀t:

z (t) = α (t₀t, z (t₀), Х_t0t); у (t) = β (t₀t, z (t₀), Х_t0t).

При одних и тех же значениях z (t₀), и Х_t0t, перемещая по оси времени интервал t₀t, можно получить различные значения z (t) и y (t).

Введем в рассмотрение оператор сдвига Ñ^t, применение которого к произвольной величине приводит к ее сдвигу вдоль оси времени на интервал t.

Система называется стационарной, если для операторов перехода и выхода выполняются условия:

z (Ñ^tt) = α (Ñ^t t₀t, Ñ^t z (t₀), Ñ^t Х_t0t) = Ñ^t z (t);

у (Ñ^tt) = β (Ñ^t t₀t, Ñ^t z (t₀), Ñ^t Х_t0t) = Ñ^t у (t).

На рисунке 3.1 представлено второе из условий, согласно которому должно выполняться равенство у (Ñ^t t) = Ñ^t у (t).

Для стационарной системы модель функционирования можно записать в виде, независимом от t₀t:

z (t) = α (z (t₀), Х_t0t); у (t) = β (z (t₀), Х_t0t).

Стационарные модели применяются для описания различных потоков (жидкости, газа, тепла) в случае постоянства условий на входе и выходе потока.

В нестационарной модели время – одно из существенных переменных. Например, движение жидкости в трубе при изменении параметров на входе (изменение скорости при истечении жидкости из сосуда).

Стационарные математические модели описывают системы, в которых протекают так называемые установившиеся процессы – процессы, в которых интересующие нас параметры постоянны во времени.

К установившимся (стационарным) относят и периодические процессы, в которых некоторые выходные параметры остаются неизменными.

Например, математическая модель маятника является стационарной по отношению к независящим от времени периоду и полуразмаху колебаний, хотя материальная точка перемещается во времени относительно положения равновесия.

Частным случаем стационарных моделей являются модели статические, которые включают описание связей между основными переменными процесса в установившихся режимах (в равновесном состоянии без изменения во времени).

Например, математическое описание статики химико-технологического процесса состоит обычно из трех видов уравнений: материального и теплового балансов, термодинамического равновесия системы (характеристика движущей силы) и скоростей протекания процессов (химических реакций, тепло- и массопередачи и т.п.).

Для расчетов медленных процессов или процессов, протекающих с небольшими отклонениями от стабильных условий, принимается допущение, позволяющее считать процесс установившимся.

Подобное допущение принимается, например, для расчета теплового баланса турбины при половинной, трехчетвертной или полной нагрузке или для решения методами линейного программирования задачи смешения материалов.

Стационарные математические модели (кроме статических) обычно состоят из дифференциальных уравнений, статические – из уравнений алгебраических.

Одним из классификационных признаков моделируемой системы является мощность множества состояний моделируемой системы. По этому признаку системы делят на статические и динамические. Система называется статической, если множество ее состояний содержит один элемент. Если состояний больше одного, или они могут изменяться во времени, система называется динамической. Процесс смены состояний называется движением системы.

Различают два основных типа динамических систем: с дискретным (множество состояний конечно или счетно) или с непрерывным множеством состояний.

В детерминированных системах новое состояние зависит только от времени и текущего состояния системы. Другими словами, если имеются условия, определяющие переход системы в новое состояние, то для детерминированной системы можно однозначно указать, в какое именно состояние она перейдет.

Для стохастической системы можно указать лишь множество возможных состояний перехода и, в некоторых случаях, - вероятностные характеристики перехода в каждое из этих состояний.

Схема классификации систем важна не сама по себе. На этапе разработки концептуальной модели она, во-первых, позволяет уточнить цели и задачи моделирования и, во-вторых, облегчает переход к этапу формализации модели. Кроме того, на этапе оценки качества разработанной модели, знание классификационных признаков дает возможность оценить степень ее соответствия первоначальному замыслу разработчика.

Исследуемая система и ее модель могут относиться как к одному классу, так и к разным классам. Например, реальная система может быть подвержена воздействию случайных факторов и, соответственно, будет относиться к классу стохастических систем. Если разработчик модели считает, что влиянием этих факторов можно пренебречь, то создаваемая модель будет представлять собой детерминированную систему. Аналогичным образом возможно отображение системы с непрерывным временем смены состояний в модель с дискретными переходами и т. д.

Рассмотрим классификацию технических систем, параметры которых определяют соответствующий класс моделей.

Исследуемый объект (процесс) может быть распределенным или сосредоточенным в пространстве и одновременно изменяться во времени. Соответственно могут быть модели с распределенными и сосредоточенными в пространстве параметрами.

Если основные переменные процесса не изменяются в пространстве, а только во времени и не зависят от прочих координат, то математическая модель, описывающая такие процессы - модель с сосредоточенными параметрами. Такие модели представляются в виде обыкновенных дифференциальных уравнений.

Для систем с распределенными параметрами переменные зависят как от времени, так и от прочих координат. В зависимости от задачи одна и та же система может рассматриваться и как система с сосредоточенными параметрами и как система с распределенными параметрами. Например, нельзя указать точные границы для тока в проводе. Что касается классов моделей, то здесь имеется четкая граница. Системы с распределенными параметрами описываются с помощью дифференциальных уравнений в частных производных.

Если процесс развивается одновременно и во времени, и в пространстве (по одной координате l), то оператор А может преобразовывать входную векторную функцию X(t, l) в выходную векторную функцию Y(t, l) и зависеть от обоих аргументов: A=A(t,l).

Пример. Рассмотрим твердый брус, нагреваемый с одной стороны и изолированный с другой. Соотношение между температурой, временем и расстоянием от точки нагрева описывается дифференциальным уравнением в частных производных Температура в этом уравнении является функцией двух переменных: времени t и расстояния l, т.е. в любой момент времени t _i температура изменяется с изменением расстояния l _i. или, наоборот, в любом месте l _i температура изменяется со временем.