Пряма в просторі. Пряма і площина

8.15. Дано чотири точки , , , . Знайти: а) рівняння прямої ; б) рівняння прямої паралельної до прямої ; в) рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно до прямої ; г) рівняння площини ; д) рівняння прямої перпендикулярної до площини та координати точки їх перетину; е) відстань від точки до площини ; є) кут між прямою і площиною ; ж) кут між координатною площиною і площиною .

Розв’язок. а) рівняння прямої складемо, використовуючи рівняння (8.12) – прямої, що проходить через дві точки:

або

– канонічне рівняння прямої, .

б) Щоб записати рівняння прямої паралельної до прямої , використаємо канонічні рівняння (8.5) прямої в просторі, що проходить через точку паралельно до вектора , так як , а , то і . Отримаємо:

.

в) Щоб записати рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно до прямої , використаємо рівняння (8.1) площини, що проходить через задану точку перпендикулярно до заданого вектора . Так як і пряма перпендикулярна до шуканої площини, то і вектор перпендикулярний до цієї площини, тому в якості нормального вектора візьмемо вектор . Отримаємо:

або .

г) Щоб записати рівняння площини , використаємо рівняння (8.15) площини, що проходить через три точки:

або – загальне рівняння площини, .

д) Щоб записати рівняння прямої , перпендикулярної до площини , скористаємось рівняннями (8.5). Напрямний вектор прямої перпендикулярний до площини , а отже , тому візьмемо . Отримаємо: .

Знайдемо координати точки перетину прямої і площини . Для цього розв’яжемо систему їх рівнянь, записавши рівняння прямої в параметричній формі:

Таким чином, .

е) Відстань від точки до площини знайдемо за формулою (8.23):

.

є) Знайдемо кут між прямою і площиною .

Запишемо рівняння прямої як рівняння прямої, що проходить через дві точки: або – канонічне рівняння прямої, .

Для знаходження шуканого кута скористаємося формулою (8.22):

, .

ж) Знайдемо кут між координатною площиною і площиною .

Рівняння площини – , .

Для знаходження шуканого кута застосуємо формулу (8.17):

,

. t

8.16. Знайти кут між прямими , .

8.17. Знайти проекцію точки на площину

8.18. Знайти рівняння площини, що проходить через пряму паралельно прямій

8.19. Знайти рівняння площини, що проходить через дві паралельні прямі:

і