Парабола

Канонічне рівняння параболи. Параболою називається множина точок площини, кожна з яких однаково віддалена від даної точки і даної прямої. Дану точку називають фокусом, а дану пряму директрисою.

Позначимо фокус через . Відстань від фокуса до директриси називається параметром параболи і позначається .

Для виведення рівняння параболи виберемо систему координат так, щоб вісь проходила через фокус перпендикулярно директрисі в напрямку від директриси до фокуса. За початок координат виберемо середину між фокусом і точкою перетину директриси з віссю . Тоді рівняння директриси матиме вигляд: , а координати фокуса (рис. 9.9).

Нехай – довільна точка параболи. Проведемо відрізок перпендикулярно директрисі, тоді За означенням для довільної точки параболи і тільки для точок параболи справедлива рівність:

, тобто

– це і є рівняння параболи. Приведемо отримане рівняння до більш простого вигляду. Для цього піднесемо обидві частини рівняння до квадрату і приведемо подібні, отримаємо:

. (9.7)

Можна довести, що рівняння (9.7) рівносильне початковому рівнянню. Воно називається канонічним рівнянням параболи.

Дослідження форми параболи за її рівнянням. Координата входить в рівняння (9.7) в парному степені, тому парабола симетрична відносно осі .

Так як , то з рівняння (9.7) випливає, що . А отже, парабола розташована справа від осі .

При : – парабола проходить через початок координат і точка називається вершиною параболи.

При зростанні значення модуля теж зростають.

Парабола побудована на рис. 9.10.

Рівняння , , теж є рівняннями параболи.

Парабола має нескінченні вітки. Асимптот у параболи немає.

Ексцентриситет параболи вважають рівним одиниці.

Приклад 9.5. Скласти канонічне рівняння параболи, якщо вона симетрична відносно осі і проходить через точку .

Розв’язок. Так як парабола симетрична відносно осі , то її рівняння має вигляд . Підставимо координати точки в це рівняння, отримаємо: або , звідки . Отже, – шукане рівняння. t