Розв’язання типового варіанта. 1. Знайти область збіжності степеневого ряду

1. Знайти область збіжності степеневого ряду

► Даний степеневий ряд можна записати так:

(11.20)

Застосуємо ознаку Даламбера:

.

Як видно, ряд буде збігатись для тих значень х, для яких

<1, або .

Дослідимо збіжність ряду на кінцях інтервалу.

При x = , маємо числовий ряд:

. (11.21)

Ряд (11.21) є знакопереміжним. У силу ознаки Лейбніца даний ряд збігається, бо

1) > > > >… 2) .

При x = маємо числовий ряд

.... (11.22)

Ряд (11.22) розбігається (для цього достатньо порівняти його з гармонічним рядом .

Отже, значення x = не належить області збіжності даного ряду.

Таким чином, - область збіжності досліджуваного ряду.

2. Обчислити визначений інтеграл з точністю до 0,001.

► Обчислимо даний інтеграл наближено за допомогою рядів. Відомо, що

.

Тоді

;

.

Маємо

.

Отримано знакопереміжний числовий ряд, який задовольняє умовам теореми Лейбниця. Оскільки четвертий член цього ряду за абсолютним значенням менше ніж 0,001, достатньо обмежитись сумою перших трьох членів. Отже

. ◄

3. Обчислити наближено з точністю до 0,0001.

► Скористаємось формулою

;

який є збіжним при .

Запишемо заданий вираз у вигляді

.

Для функції маємо наступний розклад

Підставляючи замість х число , отримає числовий ряд

Маємо знакопереміжний числовий ряд. Щоб обчислити значення функції з точністю 0,0001, необхідно, щоб перший член, що відкидається, був менш, ніж 0,0001. Неважко обчислити, що

.

Отже, .