Линейные преобразования

Рассмотрим преобразование линейного n -мерного пространства V_n,

т.е. отображения, переводящего каждый вектор a пространства V_n в некоторый вектор этого же пространства.

Определение. Преобразование L линейного пространства V_n

называется линейным преобразованием этого пространства, если оно переводит сумму любых двух векторов a и b в сумму образов этих векторов, а произведение любого вектора a на любое число переводит в произведение образа вектора a на это же число,

Из этого определения вытекает, что линейное преобразование переводит любую линейную комбинацию векторов в линейную комбинацию (с теми же коэффициентами) образов этих векторов,

(6.10)

Заметим, что .

Пусть линейное пространство V обладает базисом

cостоящим из n векторов. Если a – произвольный вектор из V, то a однозначно выражается в виде линейной комбинации через векторы базиса:

В силу (6.10) имеем

Из последнего соотношения следует, что всякое линейное преобразование L линейного пространства V_n однозначно определяется заданием образов

всех векторов фиксированной базы.

Пусть вектора , тогда матрица задает линейное преобразование L в базисе

Имеет место взаимно однозначное соответствие между всеми линейными преобразованиями n-мерного линейного пространства и всеми квадратными матрицами A порядка n.

Говорят, что матрица A есть матрица линейного преобразования L.

Зная матрицу A линейного преобразования L в базисе(6.3), по координа­там вектора a в этом базисе, легко определить координаты его об­раза.

(6.11)

где − вектор-столбец, состоящий из векторов базиса.

Установим связь между матрицами линейного преобразования L в разных базисах. Пусть известна матрица перехода от одного базиса к другому и матрицы линейного преобразования в этих базисах.

Тогда

Однако

т. е.

Ввиду невырожденности матрицы перехода T,

(6.12)

Матрицы C и B называются подобными, если они связаны равенством

Из равенства (6.12) следует, что матрицы, задающие одно и то же ли­нейное преобразование в разных базисах, подобны между собой.