Взаимное расположение плоскости и прямой в пространстве

Пусть прямая задана в канонической форме

и задана некоторая плоскость

Прямая параллельна плоскости в том и только в том случае, когда направляющий вектор a (l, m, n) перпендикулярен нормальному вектору n = (A; B; C) плоскости. Отсюда получаем условие перпендикулярности прямой и плоскости

(4.19)

Прямая перпендикулярна плоскости в том и только в том случае, когда направляющий вектор a (l, m, n) параллелен нормальному вектору n = (A; B; C) плоскости. Отсюда получаем условие параллельности прямой и плоскости

(4.20)

Пусть прямая не перпендикулярна плоскости. Под углом между пря­мой L и плоскостью будем понимать угол φ между прямой L и ее проек­цией на плоскость a (рис. 38). Обозначим через q угол (острый или тупой) между векторами a (l, m, n) и n (A, B, C). Тогда в общем случае

(4.21)

a

q

j

а

n

L

Рис. 38.

Пример 11.Пусть задана прямая и плоскость: .

Найти угол φ между прямой и плоскостью.

Решение. По формуле (4.21) находим

Пример 12.Пусть заданы прямые

Найти уравнение плоскости, параллельной прямым и проходящей че­рез точку М (1;2; 0).

Решение. По формуле (4.19) находим условия, которым удовлетворяет нормаль плоскости n (A, B, C)

Положим, к примеру A = 1, тогда С = 3/5, B = −4/15. По формуле (4.2) получаем уравнение плоскости

или

Пример 13. Пусть задана прямая Найти уравнение плоскости, перпендикулярной прямой и проходящей через точку М (1;−2; 2).

Решение. По формуле (4.20) находим условие, которому удовлетво­ряет нормаль плоскости n (A, B, C)

Положим, к примеру, A = 4, тогда B = 1, C = 2. По формуле (4.2) получаем уравнение плоскости

или