Элементы линейной алгебры

Матрицы. Основные понятия и действия над ними

Матрицей называется упорядоченная таблица чисел (или массив чисел), содержащая m строк и n столбцов. Матрица записывается в виде

где индекс i обозначает номер строки, индекс j - номер столбца матрицы.

Числа, составляющие матрицу, называются ее элементами. Матрица, имеющая m строк и n столбцов, называется матрицей размера m ´ n.

Матрицы принято классифицировать по количеству их строк и столбцов.

Если число строк матрицы равно числу столбцов, m = n, то матрица называется квадратной порядка n.

Матрица размера m ´1 называется m -мерным (или m -компонентным) столбцом, матрица размера1´ n называется n -мерной (или n -компонен­тной) строкой (так называемые матрица-столбец и матрица-строка соответственно).

Среди квадратных матриц отметим диагональные матрицы, у кото­рых все элементы с неравными индексами (i ¹ j) равны нулю

.

Будем говорить, что элементы а ₁₁, а ₂₂, …, а_nn расположены на главной диагонали.

Некоторые часто используемые матрицы с особыми значениями элементов, имеют специальные названия и обозначения.

Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной. Обозначается буквой Е

.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой. Обозначается буквой О

.

В матричном исчислении матрицы О и Е играют роль 0 и 1 в арифметике. Матрица размера 1´1, состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом, т.е. (3)_1´1 есть 3.

Квадратные матрицы, где все элементы расположены по одну сторону от главной диагонали, соответственно называются нижней и верхней треугольными матрицами.

Действия над матрицами

Две матрицы А и В одного и того же размера называются равными, если все их соответствующие элементы равны, т. е. a_ij = b_ij для всех i = и j = .

Суммой двух матриц А_m´n = (а_ij) и В_m´n = (b_ij) называется матрица С_m´n = (с_ij) такая, что с_ij = a_ij + b_ij, i = , j = . Операция вычисления матрицы С называется сложением матриц А и В.

Пример1. Найти сумму матриц А и В

, .

Решение.

.

Правило сложения двух матриц обобщается на случай любого конечного числа слагаемых матриц.

Произведением матрицы А_m´n = (а_ij) на число k называется матрица В_m´n = (b_ij) такая, что b_ij = kа_ij, i = , j = .

Пример2. Найти произведение матрицы А на число k

, k = 5, .

Отметим, что умножать на число можно матрицу любого размера.

Замечание. В качестве всех или некоторых элементов матрицы возможно использование других математических объектов, для которых подходящим образом определены операции сравнения, сложения и умножения на число, например, векторы, функции или те же матрицы.

Определенные выше линейные операции обладают следующими свойствами:

1. 2. 3. 4.

5. 6. 7.

где А, В и С - матрицы, a и b - числа.

Разность двух матриц А и В одинаковых размеров определяется равенством: А - В = А + (-1) В.

Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется матрицей транспонированной к данной. Обозначается А^Т.

Пример3. Транспонировать матрицы

, ;

, .

Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

Умножить матрицу А = (а_ij) размера m ´ n на матрицу В = (b_jk) размера n ´ q означает найти третью матрицу С = (с_ik) размера m ´ q, такую, что , i = 1,2, …, m, k = 1,2, …, q.

Матрица С называется произведением матрицы А на матрицу В

С = АВ.

В общем случае, как следует из определения, элемент с_ik есть сумма произведений элементов i -ой строки на элементы k -го столбца.

Пример4. Перемножить матрицы

1)

2) .

Произведение двух матриц в общем случае зависит от порядка сомножителей, оно не коммутативно

.

Пример5. Перемножить матрицы

;

.

В частном случае равенство АВ = ВА возможно. Матрицы А и В, для которых выполняется равенство АВ = ВА, называются перестановочными или коммутативными.

Самым характерным примером может служить единичная матрица, которая является перестановочной с любой другой матрицей того же размера

А×Е = Е×А = А.

Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка. Очевидно, что для любых матриц выполняются следующее свойство

A×O = O×A = O,

где О – нулевая матрица.

Пример6. Матрицы

,

перестановочные, так как легко проверить, что для них АВ = ВА.

Если матрицы А и В квадратные одного и того же порядка, то произведения АВ и ВА всегда существуют.

Произведение матриц обладает следующими свойствами:

1. 2.

3. 4.

Для операции транспонирования верны свойства:

1.

2.

Определение. Элементарными преобразованиями матриц назовем следующие преобразования:

1) умножение строки на число, отличное от нуля;

2) прибавление ко всем элементам одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на одно и то же число;

3) перестановка строк;

4) вычеркивание (удаление) одной из одинаковых строк;

5) транспонирование;

Те же операции, применяемые для столбцов, также называются элементарными преобразованиями.

Две матрицы А и В называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований. Записывается А ~ В.

Следует отметить, что равные и эквивалентные матрицы - понятия совершенно различные.