Основные теоремы о пределах. Признаки существования предела

Пусть и - функции, для которых существуют пределы при (): , .

Сформулируем основные теоремы о пределах:

1) Функция не может иметь более одного предела.

Предположим противное, т.е. что функция имеет 2 предела А и D, . Тогда на основании теоремы о связи бесконечно малых величин с пределами функции: , , где и - бесконечно малые величины при (). Вычитая почленно эти равенства, получим: , откуда . Это равенство невозможно, т.к. на основании свойства 1 бесконечно малых это величина бесконечно малая. Следовательно, предположение о существовании второго предела неверно.

2) Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен такой же сумме пределов этих функций, т.е.

.

3) Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций, т.е.

.

По условию и , следовательно, на основании теоремы о связи бесконечно малых величин с пределами функции: , , где и - бесконечно малые величины при (). Перемножая почленно оба равенства, получим:

.

На основании свойств бесконечно малых последние три слагаемые представляют величину, бесконечно малую при ().

Итак, функция представляет сумму постоянного числа и бесконечного малой . На основании обратной теоремы о связи бесконечно малых с пределами функции это означает, что .

В частности, постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е.

.