Тема 8. Неопределенный интеграл

Пискунов, гл. X, § 1—3, упр. 1—7; § 4, упр. 8—50, 59—68, 70—79, 84—86, 94—100; § 5, упр. 102—111, 115, 118, 123, 125; § 6, упр. 127-137, 140, 142; § 7—9, упр. 152—160, 163, 164, 167; § 11, упр. 170—172, 174, 176, 178, 180; § 14, упр. 196—206, 208—214. Разберите решение задачи 21.

Задача 21. Найти неопределённые интегралы:

а) б) ; в) г) ; д) е) ; ж) ; з) и) ; к) ; л) .

Решение: При нахождении неопределённых интегралов функций используют следующие свойства:

1) ,

2)

и таблицу интегралов основных элементарных функций:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

9'.

10. ;

10'. ;

11. ;

11'. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. ;

16. .

а) Подынтегральное выражение представляет собой неправильную рациональную дробь, так как степень многочлена, стоящего в числителе, больше степени многочлена, стоящего в знаменателе. Поэтому выделим целую часть дроби (разделим числитель на знаменатель с остатком).

Тогда данную дробь можно записать в виде

Правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы простейших дробей четырёх типов: 1) 2) где m – целое число, большее единицы; 3) где т. е. квадратный трёхчлен не имеет действительных корней; 4) где n>1, n – целое число и квадратный трёхчлен не имеет действительных корней.

Выпишем знаменатель дроби и разложим его на множители

Знаменатель представляет собой произведение линейных множителей в первой степени, следовательно, дробь можно разложить на сумму простейших дробей первого типа.

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях многочленов, стоящих в числителях дробей

Решая систему, получим

Значит, подынтегральная дробь представится в виде

Следовательно,

б) Подынтегральное выражение представляет собой правильную рациональную дробь. Разложим знаменатель на множители:

Выпишем подынтегральную дробь и разложим её на сумму простейших дробей первого и второго типа, т. к. знаменатель дроби представляет собой произведение линейных множителей, один из которых кратный.

= =

= .

Приравняем коэффициенты многочленов, стоящих в числителе.

Решая данную систему, получим: Имеем:

.

Таким образом, данный интеграл можно записать в виде:

=

в) Подынтегральное выражение представляет собой правильную рациональную дробь. Выпишем подынтегральную дробь и разложим её на сумму простейших дробей первого и третьего типа, т. к. знаменатель представляет собой произведение линейного множителя в первой степени и квадратного трёхчлена , не имеющего действительных корней, также в первой степени.

Решая данную систему, получим: Имеем

г) Подынтегральное выражение представляет собой правильную рациональную дробь. Выпишем подынтегральную дробь и разложим её на сумму простейших дробей третьего и четвёртого типа, т. к. знаменатель представляет собой квадратный трёхчлен , не имеющего действительных корней, во второй степени.

Решая данную систему, получим: Имеем

Тогда

Отдельно найдём последний интеграл. Положим тогда Получим

Окончательно получим

д) Сделаем замену ,

=

е) Интегрируем по частям по формуле: .

.

ж) Сделаем замену Получим

з) Сделаем замену

Получим

Последний интеграл есть интеграл от рациональной дроби. Выпишем эту дробь и разложим её на сумму простейших.

Решая систему, получим

Тогда

Следовательно,

и)

к)

л)