Законы Кеплера

К началу 17 столетия большинство ученых окончательно убедилось в справедливости гелиоцентрической системы мира. Однако ученым того времени не были ясны ни законы движения планет, ни причины, определяющие характер их движения.

Иоганн Кеплер (1571-1630) – немецкий астроном, обработав результаты многочисленных наблюдений, проведенных Тихо Браге и им самим, получил законы движения планет вокруг Солнца.

I закон: – Каждая планета движется вокруг Солнца по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. (В 1 ^ом приближении орбиты можно считать круговыми).

II закон: – Радиус-вектор планеты (т.е. вектор, проведенный от Солнца к планете) за равные промежутки времени описывает равные площади.

III закон: – Квадраты периодов обращения любых двух планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей их орбит.

Принимая для простоты, что орбиты являются окружностями (практически это допустимо), ускорение с которым движется планета, можно записать в виде , где v – скорость движения планеты, R – радиус орбиты.

Заменив v через 2pR/T (где T – период обращения планеты вокруг Солнца), получим

(6.1)

Замечание: Равномерное движение тела по окружности характеризуется центростремительным ускорением (точнее нормальной составляющей полного ускорения). Сила, любой природы, вызывающая это ускорение, называется центростремительной. Она приложена к телу, направлена к центру окружности и согласно II закону Ньютона равна . F_ц создается связью, удерживающей тело на окружности.

На основании выражения (6.1) отношение сил, действующих на планеты со стороны Солнца, запишем в виде:

.

Согласно III закону Кеплера: . Тогда после подстановки получим: или .

Таким образом, из III закона Кеплера следует, что сила, с которой планета притягивается к Солнцу, пропорциональна массе планеты и обратно пропорциональна квадрату ее расстояния до Солнца, т.е. .

Предположив, что коэффициент пропорциональности k в свою очередь пропорционален массе Солнца M_c, Ньютон пришел к формуле

– выражающей закон всемирного тяготения.

Впоследствии было обнаружено, что поле тяготения и сила тяготения существуют между любыми телами и тогда закон всемирного тяготения запишется в виде:

(6.2)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: сила, с которой два тела притягивают друг друга, пропорциональна массам этих тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

g – коэффициент пропорциональности (гравитационная постоянная).

Физический смысл гравитационной постоянной. Если положить m₁, m₂, r равными «1», то сила оказывается численно равна g. Таким образом, два шара с массой 1кг каждый, центры которых отстоят друг от друга на расстоянии 1м, притягиваются взаимно с силой 6,67×10^-11Н.