Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Для достаточно больших углов падения светового пучка на плоскую границу раздела не удаётся получить связь между исходным распределением поля источника и его эквивалентным распределением источника в отсутствии границы раздела в явном виде для произвольной функции распределения комплексной амплитуды. В этом случае частотный спектр изображения получится в случае линейных систем в виде произведения спектра пространственных частот G(ω) функции распределения комплексной амплитуды поля объекта M(x) на частотную характеристику передающей системы. В общем случае следует учитывать ограниченность частотной характеристики свободного пространства, однако в пароксимальном рассмотрении это заведомо излишне, так как область рассматриваемых частот ω < k.
G'(ω) = W(ω) G(ω), (3.1)
где G(ω), G'(ω) – спектры пространственных частот исходного и преобразованного поля соответственно. Следует отметить, что данное соотношение справедливо для линейных цепей, к которым нет основания причислять границу раздела (даже плоскую) в случае наклонного падения света. Действительно, связь между углом падения и преломления заведомо не линейна. Таким образом, если для нормального падения светового пучка частоты исходного и преобразованного полей совпадают, а преобразование спектра сводится к его линейной фильтрации, обусловленной существованием угловой зависимости пропускания границы раздела, то при наклонном падении светового пучка на границу раздела поворот плоскости локализации объекта, заданный в виде смещения в области пространственных частот на постоянную величину, не позволяет получить приближения удобные для анализа, а частоты исходного и преобразованного полей оказываются связанными не линейно. В связи со сказанным интерес представляет рассмотрение координатного преобразования осуществляемого границей раздела в спектральной области.
Пусть излучающий объект распложен в плоскости P(x1) в среде с показателем U1 (рисунок 11). Пусть также U1(х1) и U2(х2) – соответственно распределение комплексной амплитуды поля объекта и эквивалентного ему источника в отсутствии границы раздела, а
U1(х1) ↔ G1(ω1)
U2(х2) ↔ G2(ω2) (3.2)
- трансформанты Фурье,
где
Рисунок 11. Падение волны на плоскую границу раздела.
ω1 = k1 sin φ1
ω2 = k2 sin φ2 (3.3)
Тогда из закона Снеллиуса вытекает:
k1sin(θ1+φ1) = k2sin(θ2+φ2) (3.4)
или с учётом (3.3), после некоторых элементарных преобразований получим:
.(3.5)
Для больших углов падения и преломления в мало угловом приближении, то есть при
(3.6)
связь между частотами исходного и преобразованного полей представляется в виде:
,
откуда можно записать
(3.7)
При , дробь, в подкоренном выражении, удовлетворяет соотношению малости по сравнению с единицей и, разлагая корень в ряд по малости указанного выражения, для связи пространственных частот получим:
, (3.8)
, (3.9)
где .
Преобразование координат с точностью до квадратичных по отношению множителей оказывается взаимным. Таким образом, преобразование координат в спектре во втором приближении оказывается нелинейным и граница раздела не может быть рассмотрена в виде общего случая, в качестве элемента линейной цепи, а связь между спектрами исходного и преобразованного полей может быть представлена в виде:
. (3.10)
Таким образом, в частотной области спектр при преломлении из оптически более плотной в оптически менее плотную среду оказывается “растянут” и квадратично деформирован, что в действительности наблюдается на эксперименте, формально данное преобразование спектра может быть рассмотрено в виде интервала свёртки с δ-функцией Дирака:
. (3.11)
Где А(ω)- некоторая функция, определяющая изменение амплитуды поля вследствие неоднородного изменения масштаба в спектральной области. Вследствие закона сохранения можно записать для элементарного интервала пространственных частот ∆ω:
Ι(ω1)∆ω1=І(ω2)∆ω2
откуда
. (3.12)
Если учесть пропускание границы раздела, как функцию угла падения, то из формулы Френеля следует, для волны, поляризованной перпендикулярно плоскости падения:
. (3.13)
Из выражения следует, что производя учёт соотношений, можно получить зависимость пропускания границы раздела, как функцию частоты для малых φ1 и φ2:
. (3.14)
При построении плоского эквивалентного источника следует также учесть, что фазовый сдвиг обусловленный тем, что в лучевом приближении для преобразованного источника лучи не пересекаются в одной точке. Данное обстоятельство можно трактовать как сдвиг начала отсчёта в координатной плоскости эквивалентного источника для каждой гармоники на величину являющуюся функцией пространственной частоты. Приведение всех компонентов спектра пространственных частот к единой системе отсчёта можно осуществить путём введения фазового множителя:
. (3.15)
Из геометрических соображений (рис.) для величины сдвига можно получить выражение:
(3.16)
из выражения видно, что при использовании условия малости φ1 и φ2, а также использовании выражений (3.3) и (3.8) получаем:
, (3.17)
а положение эквивалентного источника определиться в виде:
. (3.18)
Таким образом, для связи спектров исходного и преобразованного полей можно записать, с учётом (3.10), (3.12), (3.13) и (3.17) с точностью до несущественного здесь частотного множителя
(3.19)
Данное выражение позволяет выделить следующие основные изменения в спектре при прохождении через границу раздела под углом, близким к углу полного внутреннего отражения наличие амплитудно-частотной характеристики, квадратичной по пространственной частоте, и, наконец, неоднородного преобразования координат в пространственно-частотной области.
Дата публикования: 2014-11-04; Прочитано: 432 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!