Двойной физический смысл пространственных частот

Рассмотрим соотношения, представляющие собой интеграл Фурье для двух пар переменных, и .

, (2.16)

. (2.17)

Переменные и являются координатами точек пространства и имеют размерность длины. Переменные и имеют размерность, обратную длине. Эти переменные называются пространственными частотами. Запишем интеграл Фурье в виде разложения функции времени в частотный спектр:

, . (2.18)

От отношений (2.16), (2.17) написанные выражения отличаются только числом переменных и обозначениями входящих в них величин. Отличие в числе переменных несущественно. Двойные интегралы (2.16), (2.17) предстапвляют собой преобразования Фурье того же вида, что и для и , повторенные дважды.

Для измерения частоты введена специальная единица – герц. Физический смысл переменной и её отношение к переменной известны. При описании колебательных закономерностей переменная имеет только один физический смысл, заключающийся в понятии “частота”. Соотношения (2.16), (2.17) для и отличаются, по существу, от соотношений для и только обозначениями входящих туда величин, поэтому можно сделать вывод, что переменные и обладают теми же свойствами, которые хорошо известны для частоты . В этом смысле и являются пространственными частотами. Функцию по аналогии с функцией можно назвать пространственным спектром функции . Она обладает всеми свойствами которые присущи её временному аналогу-функции . Для этой функции справедливы и соответствующие математические соотношения, например теорема отсчетов Котельникова (прямая и обратная) [ ]. Легче всего понять переход от функций и к функциям и , если представить себе функцию в виде зависимости от пространственных координат, например, на экране электронного осциллографа. В этом случае спектр также можно представить в виде функции от соответствующей пространственной частоты [ ].

Можно отметить, что переменные и по своему физическому смыслу обладают дуализмом. Кроме соотношений (2.16) и (2.17), где и имеют смысл пространственных частот, эти переменные входят и в соотношени (2.17), где имеют уже другой смысл. Здесь они определяют направление распространения плоских волн, на которые разлагается распространяющееся в среде волновое поле. Углы, под которыми распространяются волны, определяются условиями, определяются условиями, состоящими в том, что величины проекции волнового вектора на координатные оси x и y должны быть равны и соответственно. Таким образом, переменные и имеют двойной физический смысл – это, с одной стороны, пространственные частоты, а с другой стороны, величины, определяющие углы распространения плоских волн, на которые разлагается волновое поле. Именно поэтому функция называется угловым спектром поля.

Принципиально всегда имеет место двойное толкование и как пространственных частот и угловых переменных, но конкретное количественное выражение этого факта, то есть какой пространственной частоте какой именно угол соответствует, зависит от длины волны излучения. Значения пространственных частот остаются неизменными при сохранениии геометрии распределения источников вне зависимости от частоты их излучения и скорости распространения волн в пространстве (длины волны). Спектр направлений плоских волн, соответсвующих данному пространственному спектру, зависит от длины волны излучения. При увеличении длины волны угловой спектр, выраженный в значениях углов, деформируется, как показано на рисунке 8. На рисунке 8,а изображен пространственный спектр распределения комплексных амплитуд в виде зависимости от пространственной частоты . Кривая на рисунке 8,а определяется только видом функции и не зависит от характеристик волны. На этом графике отмечены значения пространственных частот, равных некоторым волновым числам и . На рисунке 8,б приведен график углового спектра, соответствующий излучению волн с волновым числом . Этот график построен в виде функции от . В области график на рисунке 8,б полностью повторяет график на рисунке 8,а на участке . За указанными пределами изменение угла волны становятся неоднородными и их амплитуда экспоненциально убывает с ростом .На рисунке 8,б рассмотрен такой случай, когда достаточно велико (длина волны достаточно мала), так что практически весь угловой спектр, показанный на рисунке 8,а, укладывается между значениями . В этом случае на долю неоднородных волн приходится малая часть всего излучения и можно сказать, что график углового спектра почти полностью повторяет график пространственного. На рисунке 8,в изображен другой случай. На этом рисунке показан угловой спектр излучения с волновым числом . Теперь малый начальный участок графика на рисунке 8,а от до занимает практически весь угловой спектр от до , а остальной спектр представляет собой неоднородные волны, интенсивность которых быстро падает. В случае изображенном на рисунке 8,в, наглядно видно, что пространственный спектр функции и угловой спектр излучения могут значительно отличаться по виду.

а)

б)

в)

Рисунок 8. Связь между пространственным спектром распределения комплексных амплитуд на плоскости и угловым спектром плоских волн, распространяющихся в пространстве.