Решение матричных[2] уравнений

Рассмотрим систему n линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных х ₁, х ₂, …, х_n:

(2)

В соответствии с правилом умножения матриц рассмотренная система линейных уравнений может быть записана в матричном виде

Ах = b,

(3)

где:

.

(4)

Рисунок 8. Решение матричных уравнений

Матрица А, столбцами которой являются коэффициенты при соответствующих неизвестных, а строками – коэффициенты при неизвестных в соответствующем уравнении, называется матрицей системы; матрица-столбец b, элементами которой являются правые части уравнений системы, называется матрицей правой части или просто правой частью системы. Матрица-столбец х, элементы которой - искомые неизвестные, называется решением системы.

Если матрица А - неособенная, то есть det A ¹ 0 то система (2), или эквивалентное ей матричное уравнение (3), имеет единственное решение.

В самом деле, при условии det A ¹ 0 существует обратная матрица А ^-1. Умножая обе части уравнения (3) на матрицу А ^-1 получим:

(5)

Формула (5) дает решение уравнения (3) и оно единственно.

Системы линейных уравнений удобно решать с помощью функции lsolve.

lsolve(А, b)

Возвращается вектор решения x такой, что Ах = b.

Аргументы:

А - квадратная, не сингулярная матрица.

b - вектор, имеющий столько же рядов, сколько рядов в матрице А.

На Рисунке 8 показано решение системы трех линейных уравнений относительно трех неизвестных.