![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Дві паралельні сили і
, які направлені в один бік, мають рівнодійну, яка напрямлена в той же бік і за модулем дорівнює сумі цих сил. Лінія дії рівнодійної поділяє відстань між лініями дій заданих сил на частини, які обернено пропорційні величинам сил
і
.
Для доведення даної теореми розглянемо тверде тіло(на рис. 13 не показано), до якого прикладено дві паралельні сили і
, які направлені в один бік (рис. 13, а).
З’єднаємо дві точки і
прямою лінією і прикладемо в даних точках дві рівні за величиною і протилежні за напрямом сили
і
, які напрямлені вздовж прямої
. Такі дві сили, оскільки, вони взаємно зрівноважуються згідно з аксіомою 2, не змінюють стану тіла. За правилом паралелограма попарно додамо сили (рис. 13, б)
,
.
Отримані рівнодійні і
перенесемо вздовж лінії їх дії в точку
(це також не змінить стану тіла, оскільки сила є ковзним вектором), де розкладемо їх на початкові складові (рис. 13, в)
,
.
Сили і
, прикладені в точці
, взаємно зрівноважуються і їх можна відкинути, не змінюючи стану тіла. Залишаються дві сили
і
, які прикладені в точці
, напрямлені вздовж однієї прямої в один і той же бік. Додаючи ці дві сили, одержимо їх рівнодійну
, яка має величину, що дорівнює сумі їх величини
і напрямлена вздовж тієї ж прямої і в той же бік.
Рис. 13
Отже, сили і
(рис. 13, а) мають рівнодійну, величина якої дорівнює сумі сил
і
, паралельна до них і напрямлена в той же бік (рис. 13, г).
Тепер визначимо, де проходить лінія дії рівнодійної, тобто визначимо положення точки перетину цієї лінії з відрізком
. Для цього співставимо трикутники
і
,
і
. Вони є попарно подібними, тобто:
,
.
З подібності трикутників маємо
,
.
Звідси
,
.
Оскільки , то остаточно отримаємо
,
тобто
.
Отже, точка поділяє відрізок
на частини, які обернено пропорційні величинам сил.
Таким чином, теорема доведена.
Аналогічно, що пропонується читачу проробити самостійно, можна довести і таку теорему:
дві не рівні за модулем паралельні сили і
, які напрямлені в протилежні боки, мають рівнодійну, напрям якої співпадає з напрямом більшої сили, а модуль її дорівнює різниці модулів складових сил
і
. Лінія дії рівнодійної поділяє відстань між лініями дії складових сил зовнішнім чином на відрізки, які обернено пропорційні величинам цих сил, тобто, якщо
, то
,
і точка
знаходиться за межами відрізка
з боку більшої сили, як вказано на рис. 14.
Рис. 14
5 Доведення теореми про еквівалентність пар сил
Доведення теореми 1. Для доведення теореми 1 (див. §17) розглянемо пару сил з плечем
, яка розміщена в площині рисунка, і довільно розміщений відрізок
(рис. 15, а).
Покажемо, що задану пару сил , не змінюючи стану тіла, на яке вона діє, можна перенести так, щоб її плече збігалося з відрізком
. Для цього в точках
і
перпендикулярно до відрізка
прикладемо по дві сили
і
,
і
, які задовольняють умові
, і лінії дії їх продовжимо до перетину з лініями дії сил
. Внаслідок перетину отримуємо ромб
(рис. 15, б). Прикладання сил
,
,
і
не змінить стану тіла, оскільки ці сили попарно зрівноважуються.
Рис. 15
Сили ,
,
і
перенесемо вздовж ліній їх дій відповідно в точки
і
і попарно їх додамо (рис. 15, в)
,
.
Враховуючи те, що ,
, отримаємо, що
. До того ж рівнодійні
і
будуть напрямлені вздовж діагоналі
ромба
, бо сили
,
,
,
рівні за модулем і при їх додаванні отримується ромб. Таким чином, сили
і
дорівнюють одна одній за величиною і діють вздовж однієї прямої в протилежні боки (рис. 15, в). Отже, вони взаємно зрівноважуються і їх, не змінюючи стану тіла, можна виключити.
Після всіх цих дій залишаються сили і
, які прикладені в точках
і
(рис. 15, г). Сили
і
рівні за модулем, паралельні і протилежні за напрямом, отже вони утворюють пару сил. Оскільки
,
, то можна вважати, що отримана пара сил
є не що інше, як пара сил
, яка перенесена з початкового положення
в потрібне положення
і це перенесення не змінило стану тіла.
Доведення теореми 2. Для доведення другої теореми припустимо, що дано пару сил з плечем
, яка знаходиться в площині
, і задано деяку площину
, яка паралельна площині
(рис. 16, а). Доведемо що задану пару сил
, не змінюючи стану тіла, на яке вона діє (тіло на рис. 16 не зображено), можна перенести в площину
. Для цього з точок
і
проведемо паралельні прямі, точки перетину яких з площиною
позначимо
і
. В отриманих точках перпендикулярно до відрізка
в протилежних напрямах прикладемо по дві сили
і
,
і
, які задовольняють умові
(рис. 16, б). Оскільки прикладені сили попарно зрівноважуються, то їх прикладання не змінить стану тіла.
Рис. 16
Додаємо силу і
. Оскільки ці сили рівні, паралельні і напрямлені в один бік, то їх рівнодійна дорівнює за величиною
, їм паралельна і напрямлена в той же бік. Точка її прикладання поділяє відрізок
навпіл. Точно так само, додаючи сили
і
, які прикладені відповідно в точках
і
, одержимо їх рівнодійну, яка за величиною дорівнює
їм паралельна і напрямлена в той же бік, що й ці сили. Точка прикладання цієї рівнодійної поділяє навпіл відрізок
(рис. 16, в). Відрізки
і
поділяються навпіл в точці перетину
, бо вони є діагоналлю паралелограма
. Таким чином, обидві рівнодійні, які рівні за величиною і протилежні за напрямом, прикладені в одній точці
(рис. 16, в). Отже, вони взаємно зрівноважуються і їх можна виключити.
Залишаються сили і
, які рівні за величиною, протилежно напрямлені і паралельні (рис. 16, г), тобто становлять пару сил з плечем
. Оскільки
,
,
, то можна вважати, що отримана пара сил
є не що інше, як пара сил
, яка перенесена з площини
в паралельну площину
і це перенесення не змінило стану тіла.
Доведення теореми 3. Для доведення третьої теореми розглянемо пару сил з плечем
, яка діє на тверде тіло (тіло не зображено на рисунку) в площині рисунка (рис, 17, а). На лінії дії сили
вибираємо довільну точку
і, використовуючи те, що сила є ковзним вектором, перенесемо силу
в цю точку (рис.17, б). Сили
і
розкладемо на дві складові
,
так, що сили і
розміщені перпендикулярно до відрізка
, а сили
і
– вздовж цього відрізка (рис. 17, в).
Позначимо , тоді
,
, як кути з відповідно перпендикулярними сторонами. З прямокутних
і
маємо
,
,
,
.
Рис. 17
Оскільки , то
,
.
Сили і
, які діють вздовж однієї прямої в протилежні боки, зрівноважуються і їх, не змінюючи стану тіла, можна виключити.
Після виключення сил і
залишаються сили
і
, які рівні за величиною, протилежно напрямлені і паралельні (рис. 17, г), тобто утворюють пару сил з плечем
. Отримана пара сил
діє на тверде тіло так само, як задана пара сил
, бо всі перетворення, які були проведені з силами, не змінювали стану тіла. Визначимо момент отриманої пари сил
.
З маємо
.
Враховуючи, що , а
, отримаємо
.
Отже пари сил, які однаково діють на тверде тіло, мають рівні за величиною і однакові за знаком моменти. Тобто, не змінюючи дії пари сил на тіло, можна змінювати модулі сил і плече цієї пари, але так, щоб її момент і напрям обертання залишались незмінними.
Дата публикования: 2014-11-04; Прочитано: 1164 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!