Теорема. Дві паралельні сили і , які направлені в один бік, мають рівнодійну, яка напрямлена в той же бік і за модулем дорівнює сумі цих сил

Рис. 14

5 Доведення теореми про еквівалентність пар сил

Доведення теореми 1. Для доведення теореми 1 (див. §17) розглянемо пару сил з плечем , яка розміщена в площині рисунка, і довільно розміщений відрізок (рис. 15, а).

Покажемо, що задану пару сил , не змінюючи стану тіла, на яке вона діє, можна перенести так, щоб її плече збігалося з відрізком . Для цього в точках і перпендикулярно до відрізка прикладемо по дві сили і , і , які задовольняють умові , і лінії дії їх продовжимо до перетину з лініями дії сил . Внаслідок перетину отримуємо ромб (рис. 15, б). Прикладання сил , , і не змінить стану тіла, оскільки ці сили попарно зрівноважуються.

Рис. 15

Сили , , і перенесемо вздовж ліній їх дій відповідно в точки і і попарно їх додамо (рис. 15, в)

, .

Враховуючи те, що , , отримаємо, що . До того ж рівнодійні і будуть напрямлені вздовж діагоналі ромба , бо сили , , , рівні за модулем і при їх додаванні отримується ромб. Таким чином, сили і дорівнюють одна одній за величиною і діють вздовж однієї прямої в протилежні боки (рис. 15, в). Отже, вони взаємно зрівноважуються і їх, не змінюючи стану тіла, можна виключити.

Після всіх цих дій залишаються сили і , які прикладені в точках і (рис. 15, г). Сили і рівні за модулем, паралельні і протилежні за напрямом, отже вони утворюють пару сил. Оскільки , , то можна вважати, що отримана пара сил є не що інше, як пара сил , яка перенесена з початкового положення в потрібне положення і це перенесення не змінило стану тіла.

Доведення теореми 2. Для доведення другої теореми припустимо, що дано пару сил з плечем , яка знаходиться в площині , і задано деяку площину , яка паралельна площині (рис. 16, а). Доведемо що задану пару сил , не змінюючи стану тіла, на яке вона діє (тіло на рис. 16 не зображено), можна перенести в площину . Для цього з точок і проведемо паралельні прямі, точки перетину яких з площиною позначимо і . В отриманих точках перпендикулярно до відрізка в протилежних напрямах прикладемо по дві сили і , і , які задовольняють умові (рис. 16, б). Оскільки прикладені сили попарно зрівноважуються, то їх прикладання не змінить стану тіла.

Рис. 16

Додаємо силу і . Оскільки ці сили рівні, паралельні і напрямлені в один бік, то їх рівнодійна дорівнює за величиною , їм паралельна і напрямлена в той же бік. Точка її прикладання поділяє відрізок навпіл. Точно так само, додаючи сили і , які прикладені відповідно в точках і , одержимо їх рівнодійну, яка за величиною дорівнює їм паралельна і напрямлена в той же бік, що й ці сили. Точка прикладання цієї рівнодійної поділяє навпіл відрізок (рис. 16, в). Відрізки і поділяються навпіл в точці перетину , бо вони є діагоналлю паралелограма . Таким чином, обидві рівнодійні, які рівні за величиною і протилежні за напрямом, прикладені в одній точці (рис. 16, в). Отже, вони взаємно зрівноважуються і їх можна виключити.

Залишаються сили і , які рівні за величиною, протилежно напрямлені і паралельні (рис. 16, г), тобто становлять пару сил з плечем . Оскільки , , , то можна вважати, що отримана пара сил є не що інше, як пара сил , яка перенесена з площини в паралельну площину і це перенесення не змінило стану тіла.

Доведення теореми 3. Для доведення третьої теореми розглянемо пару сил з плечем , яка діє на тверде тіло (тіло не зображено на рисунку) в площині рисунка (рис, 17, а). На лінії дії сили вибираємо довільну точку і, використовуючи те, що сила є ковзним вектором, перенесемо силу в цю точку (рис.17, б). Сили і розкладемо на дві складові

,

так, що сили і розміщені перпендикулярно до відрізка , а сили і – вздовж цього відрізка (рис. 17, в).

Позначимо , тоді , , як кути з відповідно перпендикулярними сторонами. З прямокутних і маємо

,

,

,

.

Рис. 17

Оскільки , то , .

Сили і , які діють вздовж однієї прямої в протилежні боки, зрівноважуються і їх, не змінюючи стану тіла, можна виключити.

Після виключення сил і залишаються сили і , які рівні за величиною, протилежно напрямлені і паралельні (рис. 17, г), тобто утворюють пару сил з плечем . Отримана пара сил діє на тверде тіло так само, як задана пара сил , бо всі перетворення, які були проведені з силами, не змінювали стану тіла. Визначимо момент отриманої пари сил

.

З маємо

.

Враховуючи, що , а , отримаємо

.

Отже пари сил, які однаково діють на тверде тіло, мають рівні за величиною і однакові за знаком моменти. Тобто, не змінюючи дії пари сил на тіло, можна змінювати модулі сил і плече цієї пари, але так, щоб її момент і напрям обертання залишались незмінними.