Определение производной

Пусть имеем некоторую функцию y=f(x), определенную на некотором промежутке. Для каждого значения аргумента x из этого промежутка функция y=f(x) имеет определенное значение.

Рассмотрим два значения аргумента: исходное x ₀ и новое x. Разность x– x ₀ называется приращением аргумента x в точке x ₀ и обозначается Δx. Таким образом, Δx = x – x ₀ (приращение аргумента может быть как положительным, так и отрицательным). Из этого равенства следует, что x=x ₀ +Δx, т.е. первоначальное значение переменной получило некоторое приращение. Тогда, если в точке x ₀ значение функции было f(x ₀ ), то в новой точке x функция будет принимать значение f(x) = f(x ₀ +Δx).

Разность y – y ₀ = f(x) – f(x ₀ ) называется приращением функции y = f(x) в точке x ₀ и обозначается символом Δy. Таким образом,

Δy = f(x) – f(x 0 ) = f(x 0 +Δx) - f(x 0 ).

(1)

Обычно исходное значение аргумента x ₀ считается фиксированным, а новое значение x – переменным. Тогда y ₀ = f(x ₀ ) оказывается постоянной, а y = f(x) – переменной. Приращения Δy и Δx также будут переменными и формула (1) показывает, что Δy является функцией переменной Δx.

Составим отношение приращения функции к приращению аргумента

Найдем предел этого отношения при Δx →0. Если этот предел существует, то его называют производной данной функции f(x) в точке x ₀ и обозначают f '(x ₀). Итак,

.

Производной данной функции y = f(x) в точке x ₀ называется предел отношения приращения функции Δ y к приращению аргумента Δ x, когда последнее произвольным образом стремится к нулю.

Заметим, что для одной и той же функции производная в различных точках x может принимать различные значения, т.е. производную можно рассматривать как функцию аргумента x. Эта функция обозначается f '(x)

Производная обозначается символами f ' (x),y ', . Конкретное значение производной при x = a обозначается f '(a) или y ' |_x=a.

Операция нахождения производной от функции f(x) называется дифференцированием этой функции.

Для непосредственного нахождения производной по определению можно применить следующее практическое правило:

1. Придать x приращение Δ x и найти наращенное значение функции f(x + Δx).

2. Найти приращение функции Δy = f(x + Δx) – f(x).

3. Составить отношение и найти предел этого отношения при Δ x ∞0.

Примеры.

1. Найти производную функции y = x²

а) в произвольной точке;

б) в точке x = 2.

а)

1. f(x + Δx) = (x + Δx) ²;

2. Δy = (x + Δx)² – x²=2xΔx– x ²;

3. .

б) f '(2) = 4

2. Используя определение найти производную функции в произвольной точке.

1. .

2.

3.