![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Введение
Данное пособие написано для того, чтобы помочь студентам, обучающимся на факультете заочного и дистанционного обучения по направлению «эксплуатация транспортно-технологических машин и комплексов» и профилю «автомобили и автомобильное хозяйство», в освоении тех разделов математики, которые изучаются в первом семестре, а также помочь в выполнении контрольных работ по математике по соответствующим темам: № 1,2, 3.
В пособии имеется необходимый теоретический материал, пример выполнения соответствующей контрольной работы и задания для самостоятельного выполнения в десяти вариантах. Номер варианта определяется по последней цифре зачётной книжки (шифра).
Работу следует выполнять в тонкой ученической тетради в клетку. Выполненную работу следует снабдить титульным листом, образец которого можно найти на доске объявлений у деканата.
Поскольку пособие содержит достаточно большой теоретический материал, полезно сохранить его до конца обучения в вузе, так как он может быть востребован при дальнейшем изучении математики и других дисциплин.
Раздел 1. Контрольная работа по математике №1
Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии
Теоретический материал для данной контрольной работы был представлен на установочных занятиях. При возникновении каких-либо вопросов следует обращаться к нему.
Пример решения работы
Задание №1. Даны два вектора и
. Найти их длины
,
, сумму
, линейную комбинацию
, скалярное произведение
, векторное произведение
, угол (в градусах) между векторами
.
Решение
1) Длины векторов равны:
;
.
2) Найдем сумму и линейную комбинацию
:
;
.
3) Скалярное произведение равно:
.
4) Векторное произведение равно:
.
5) Из определения скалярного произведения:
.
В условиях данной задачи:
.
Тогда .
Ответ: 1) ;
2) ;
.
3) ;
4) ;
5) .
Задание №2. Найти объем, площадь основания
и высоту пирамиды с вершинами в точках
,
,
,
, опущенную из вершины
на грань
.
Решение
Из формулы выразим высоту
.
Для решения задачи введем векторы: ,
,
, при этом
,
,
.
1) Объем пирамиды находится как модуль смешанного произведения векторов
,
,
:
.
2) Площадь основания находится по формуле:
,
,
3) Длина высоты, опущенной из вершины на грань
, находится из формулы
. Получим:
.
Ответ: ;
;
.
Задание №3. Даны вершины треугольника :
,
,
. Найти:
а) уравнение стороны ;
б) уравнение высоты ;
в) уравнение медианы ;
г) точку пересечения медианы и высоты
;
д) уравнение прямой, проходящей через вершину , параллельно
;
е) расстояние от точки до прямой
;
ж) сделать чертеж.
Для разбора решения задачи отметим на координатной плоскости точки: ,
,
.
Решение
а) Для нахождения уравнения стороны
воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две заданные точки:
:
(
).
б) Для составления уравнения высоты воспользуемся условием перпендикулярности прямых
и
(
), а также уравнением прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом:
.
Итак, :
,
следовательно, . Тогда по условию
.
Уравнение примет вид:
:
(
).
в) Для составления уравнения медианы найдем сначала координаты точки
- середины отрезка
:
;
;
.
Тогда :
(
).
г) Для нахождения координат точки - пересечения медианы
и высоты
составим и решим систему уравнений:
;
.
Итак, .
д) Уравнение прямой , проходящей через точку
параллельно
, будем искать в виде:
.
Так как , то
(угловые коэффициенты у параллельных прямых равны).
(смотри пункт б)). Но тогда
.
Итак, или
.
е) Расстояние от точки до прямой
может быть найдено по формуле:
, при этом,
:
, а, значит
;
;
;
;
.
Следовательно, .
Ответ: а) (
); б)
(
); в)
(
); г)
; д)
; е)
.
Задание №4. Найти угол (в градусах) между плоскостями и
.
Решение
Величина угла между плоскостями, заданными уравнениями
и
вычисляется на основании формулы:
.
А, значит, в условиях данной задачи, когда ;
;
;
;
;
, имеем:
.
Итак,
.
Ответ: .
Задание №5. Найти точку пересечения прямой и плоскости
.
Решение
Для того, чтобы найти точку пересечения прямой и плоскости нужно решить совместно их уравнения, для чего следует воспользоваться параметрическими уравнениями прямой в пространстве.
Параметрические уравнения данной прямой имеют вид:
.
Подставив в уравнение плоскости найдем
- то значение параметра, при котором происходит пересечение:
;
А, значит, ;
;
.
Итак, точка пересечения данной прямой и данной плоскости - .
Ответ: .
Дата публикования: 2015-11-01; Прочитано: 238 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!