Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Введение
Данное пособие написано для того, чтобы помочь студентам, обучающимся на факультете заочного и дистанционного обучения по направлению «эксплуатация транспортно-технологических машин и комплексов» и профилю «автомобили и автомобильное хозяйство», в освоении тех разделов математики, которые изучаются в первом семестре, а также помочь в выполнении контрольных работ по математике по соответствующим темам: № 1,2, 3.
В пособии имеется необходимый теоретический материал, пример выполнения соответствующей контрольной работы и задания для самостоятельного выполнения в десяти вариантах. Номер варианта определяется по последней цифре зачётной книжки (шифра).
Работу следует выполнять в тонкой ученической тетради в клетку. Выполненную работу следует снабдить титульным листом, образец которого можно найти на доске объявлений у деканата.
Поскольку пособие содержит достаточно большой теоретический материал, полезно сохранить его до конца обучения в вузе, так как он может быть востребован при дальнейшем изучении математики и других дисциплин.
Раздел 1. Контрольная работа по математике №1
Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии
Теоретический материал для данной контрольной работы был представлен на установочных занятиях. При возникновении каких-либо вопросов следует обращаться к нему.
Пример решения работы
Задание №1. Даны два вектора и . Найти их длины , , сумму , линейную комбинацию , скалярное произведение , векторное произведение , угол (в градусах) между векторами .
Решение
1) Длины векторов равны:
; .
2) Найдем сумму и линейную комбинацию :
;
.
3) Скалярное произведение равно:
.
4) Векторное произведение равно:
.
5) Из определения скалярного произведения:
.
В условиях данной задачи:
.
Тогда .
Ответ: 1) ;
2) ; .
3) ;
4) ;
5) .
Задание №2. Найти объем, площадь основания и высоту пирамиды с вершинами в точках , , , , опущенную из вершины на грань .
Решение
Из формулы выразим высоту .
Для решения задачи введем векторы: , , , при этом , , .
1) Объем пирамиды находится как модуль смешанного произведения векторов , , :
.
2) Площадь основания находится по формуле:
,
,
3) Длина высоты, опущенной из вершины на грань , находится из формулы . Получим:
.
Ответ: ; ; .
Задание №3. Даны вершины треугольника : , , . Найти:
а) уравнение стороны ;
б) уравнение высоты ;
в) уравнение медианы ;
г) точку пересечения медианы и высоты ;
д) уравнение прямой, проходящей через вершину , параллельно ;
е) расстояние от точки до прямой ;
ж) сделать чертеж.
Для разбора решения задачи отметим на координатной плоскости точки: , , .
Решение
а) Для нахождения уравнения стороны воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две заданные точки:
:
().
б) Для составления уравнения высоты воспользуемся условием перпендикулярности прямых и (), а также уравнением прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом:
.
Итак, : ,
следовательно, . Тогда по условию
.
Уравнение примет вид:
: ().
в) Для составления уравнения медианы найдем сначала координаты точки - середины отрезка :
; ; .
Тогда : ().
г) Для нахождения координат точки - пересечения медианы и высоты составим и решим систему уравнений:
; .
Итак, .
д) Уравнение прямой , проходящей через точку параллельно , будем искать в виде: .
Так как , то (угловые коэффициенты у параллельных прямых равны).
(смотри пункт б)). Но тогда .
Итак, или .
е) Расстояние от точки до прямой может быть найдено по формуле:
, при этом, : , а, значит
; ; ; ; .
Следовательно, .
Ответ: а) (); б) (); в) (); г) ; д) ; е) .
Задание №4. Найти угол (в градусах) между плоскостями и .
Решение
Величина угла между плоскостями, заданными уравнениями
и
вычисляется на основании формулы:
.
А, значит, в условиях данной задачи, когда ; ; ; ; ; , имеем:
.
Итак, .
Ответ: .
Задание №5. Найти точку пересечения прямой и плоскости .
Решение
Для того, чтобы найти точку пересечения прямой и плоскости нужно решить совместно их уравнения, для чего следует воспользоваться параметрическими уравнениями прямой в пространстве.
Параметрические уравнения данной прямой имеют вид: .
Подставив в уравнение плоскости найдем - то значение параметра, при котором происходит пересечение:
;
А, значит, ; ; .
Итак, точка пересечения данной прямой и данной плоскости - .
Ответ: .
Дата публикования: 2015-11-01; Прочитано: 224 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!