Практическое занятие № 5

Центральное растяжение-сжатие

(расчетная часть)

Пример

Для бруса, жестко заделанного обоими концами и нагруженного вдоль оси силами F ₁ и F ₂, приложенными в его промежуточных сечениях (рисунок 1, а), требуется построить эпюры продольных сил, нормальных напряжений и перемещений поперечных сечений. Проверить прочность бруса, если материал – сталь Ст4 (σ_т=260 МПа); требуемый коэффициент запаса [ п _т]=1,6, модуль упругости Е =2·10¹¹ Па, а =0,1 м.

Решение.

В заделках бруса возникают реакции, направленные вдоль его оси. Имеем систему сил, направленных по одной прямой, для которой статика дает одно уравнение равновесия:

(а)

Неизвестных реактивных сил две, следовательно, система один раз статически неопределима.

Рисунок 1

Для составления уравнения перемещений отбросим одну из заделок, например правую, и заменим ее действие на брус соответствующей реактивной силой R_B (рисунок 1, б). Получим статически определимый брус, нагруженный кроме заданных сил F ₁ и F ₂ неизвестной реактивной силой R_B = X. Этот статически определимый брус нагружен так же, как заданный статически неопределимый, т. е. эквивалентен ему. Эквивалентность этих двух брусьев позволяет утверждать, что второй брус деформируется так же, как первый, т. е. перемещение сечения В равно нулю, так как фактически (в заданном брусе) оно жестко заделано, т.е. .

Применив принцип независимости действия сил, перепишем это уравнение в виде

,

(б)

т. е. перемещение от совместного действия всех сил равно алгебраической сумме перемещений от действия каждой силы в отдельности.

В обозначениях перемещений первая буква индекса указывает о перемещении какого сечения идет речь; вторая – причину, вызывающую это перемещение (сила F, и т д.).

На рисунке 2 показаны схемы нагружения бруса каждой из сил в отдельности, там же показаны соответствующие реакции левой заделки.

Рисунок 2

Пользуясь этими схемами, определим перемещения:

равно удлинению участка АС;

равно сумме удлинений участков AD и DE.

равно сумме укорочений участков AD, DK, KВ.

Подставляя полученные значения в уравнение (б), имеем

,

откуда X=22F/29.

Статическая неопределимость раскрыта – имеем статически определимый брус, заделанный одним концом, нагруженный известными силами F ₁, F ₂ и X (рисунок 3, а).

Строим эпюру продольных сил начиная от условно свободного конца В бруса (рисунок 3, б):

;

;

.

Рисунок 3

Строим эпюру нормальных напряжений (рисунок 3, в):

;

;

;

;

.

Наибольшие по абсолютному значению напряжения возникают в поперечных сечениях участка ЕК – это опасные сечения.

Проверка прочности:

.

Построение эпюры перемещений начинаем от защемленного конца А бруса

;

;

;

;

.

На правом конце бруса, в сечении В, ордината эпюры равна нулю, так как в заданном брусе это сечение жестко закреплено; именно из этого условия определено значение X.

Задачи

1. Определить размеры поперечного сечения стальной (Е =2,1·10⁵ МПа) штанги (рисунок 2) при условии, чтобы ее удлинение равнялось [ ] = 2 мм (здесь и в дальнейшем квадратные скобки употребляются для обозначения допускаемого значения той или иной величины – удлинения, напряжения и т. д.). Чему при этом будут равны напряжения в поперечном сечении штанги?

Рисунок 2

2. Построить эпюры продольных сил, нормальных напряжений и перемещений поперечных сечений по длине бруса, изображенного на рисунке 3.

Рисунок 3

3. Определить (не учитывая влияния силы тяжести) изменение высоты бруса, имеющего форму усеченного конуса (рисунок 4).

Рисунок 4

4. В сжатом стержне (рисунок 5) напряжения по одной из площадок: σ _α= -60 МПа; τ_α=24 МПа. Вычислить наибольшие нормальные и касательные напряжения, возникающие в данном стержне.

Рисунок 5

5. Проверить прочность ступенчатого чугунного бруса (рисунок 6), если требуемый коэффициент запаса прочности [ п ] = 4. Предел прочности материала бруса на растяжение σ_пч.р=150 МПа и на сжатие σ_пч.с=580 МПа.

Рисунок 6

6. Весьма жесткая балка подвешена на трех стальных стержнях одинакового сечения А = 4 см² и нагружена силой F, как показано на схеме (рисунок 7). Определить допускаемое значение силы F, если для материала стержней = 160 МПа.

Рисунок 7