Лекция 1. Из истории геометрии

Филиал в г. Коряжме Архангельской области

И.В.Харитонова

ЭЛЕМЕНТАРНОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ ОСНОВ НАГЛЯДНО-ПРАКТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Курс лекций

Коряжма

Содержание

Лекция 1. Из истории геометрии. 9

Лекция 2. Линии и поверхности второго порядка. 20

1. Линии второго порядка. 20

2. Поверхности второго порядка. 25

Лекция 3. Пространственные кривые. Цилиндрические и конические винтовые линии. 30

1. Цилиндрические винтовые линии. 33

2. Конические винтовые линии. 36

Лекция 4. Симметрия в геометрии и природе. 37

Лекция 5. Основы топологии. 45

Лекция 6. Фракталы.. 62

Лекция 7. Неевклидовы геометрии. 67

1. Геометрия Лобачевского. 69

2. Сферическая геометрия. 72

Лекция 8. Проективная геометрия. 80

Лекция 9. Геометрия в архитектуре. 88

Заключение. 92

Список используемой литературы.. 95

Приложение. 98

Введение

Окружающий нас мир – это мир геометрии.
А.Д. Александров

Математика – одна из древнейших наук. Что изучала и изучает теперь математика? Если спросить об этом у любого человека, то ответы могут быть самыми разными. Для кого-то математика - это только наука о числах, другой ответит, что математика позволяет все просчитать и значительно облегчить нам жизнь. Третьи скажут, что математика - это основа всех наук, позволяющая измерять длину рек, высоты гор, скорость ветров, вероятность выигрыша в сражении, да и много еще что.

Да и саму математику многие считают сложной и трудной для изучения наукой. Одной из причин этого можно определить точность фактов, расчетов: в математике недопустимы даже малейшие ошибки. Другая причина возникающих трудностей – громоздкие формулы, характеризующиеся специфической символикой, явно отличающейся от обыденной. При всем этом не совсем ясно, где полученные знания могут пригодиться в обыденной жизни.

Прежде всего, отметим, что математика, как и другие науки, постоянно развивается, обогащается новыми теориями, меняется в ответ на новые запросы жизни. Объем математических знаний постоянно увеличивается. Открытия, которые делают математики, столь разнообразны, что трудно предсказать, в какой области будет сделано следующее.

Прародителями науки «математики» были две другие известные еще в Древней Греции науки – логика и геометрия. Основные понятия и идеи классической или формальной логикой впервые были изложены в IV веку до н.э. Аристотелем в книге «Ор­ганон». Основным понятием логики является истинное утверждение или высказывание.

Аристотель

Известный логический закон исключенного третьего утверждает, что всякое высказывание либо истинно, либо лож­но, третьего варианта не существует. Именно поэтому, если утверждалось, что высказывание «всякая прямая – бесконечна» истинно, то утверждение «прямая имеет край (или конец)», являлось однозначно ложным.

На заре своего расцвета и развития геометрия была в значительной степени экспериментальной наукой и имела, в основном, предметный характер, поскольку позволяла проводить расчеты, связанные с измерением длин, площадей, углов, объёмов и т.д. Так появились понятия «точка», «тело», «прямая», «плоскость», «движение», «принадлежность» и т.д.

Евклид

Еще в древности геометрия рассматривалась как строго логическая наука, построенная на основе системы аксиом. Ее интересы, направления, постоянно менялись и та геометрия, что зародилась в Древней Греции отличается от современного понимания.

Геометрию можно понимать двояко - наглядно и отвлеченно (то есть абстрактно). В первом смысле объекты изучения мыслятся как непосредственно существующие, например, прямая – это тонкая натянутая нить, точка это след от прикосновения карандаша.

Во втором смысле, они представляют собой некоторые основные объекты геометрии, которые обладают определенными свойствами, и для которых выполняется все то, что утверждается в определенных утверждениях - аксиомах. Именно тогда возникли знаменитые утверждения, связывающие первичные геометрические понятия и считающие­ся бесспорными истинами, относительно выполнимости которых не может быть сомнений.

Именно на этом этапе и произошло слияние логики и геомет­рии, которое зародило математику как науку. Система аксиом геометрии, сформулированная в «Началах» Евклида, стала той системой, исходя из которой стало возможным строить новые истинные высказывания (теоремы), без вся­кой ссылки на опыт и наглядность, используя при этом только логику. Совокупность выведенных из сформулированных ранее аксиом новых теорем составила теорию, которая называется в наше время евкли­довой геометрией.

Август Мебиус

Геометрия определяется как наука о пространстве и о расположенных в пространстве фигурах. Некоторые ее определения очевидны, но весьма туманны, например, Евклидовы определения: «линия есть длина без ширины», «точка есть то, что не имеет частей».

Но все же, геометрия оперирует с простыми, существующими в действительности, предметами. Возьмем, к примеру, геометрическую поверхность, обладающую совершенно невероятным свойством: она имеет только одну сторону. Самое же при этом удивительное, пожалуй, то, что сделать ее своими руками не представляет решительно никакого труда: надо лишь взять полоску бумаги и склеить ее концы, предварительно повернув один из них на 180 градусов. И тогда в Ваших руках окажется лист или лента Мебиуса. Идея этой ленты принадлежит немецкому математику Августу Фердинанду Мебиусу. Линия Мебиуса обладает любопытными свойствами. Если разделим эту линию пополам, разрезав точно посередине, то вместо двух лент получим одну длинную ленту с двумя полуоборотами. Если же разрезать ленту Мебиуса, отступая от одного из краев на треть, то получим две ленты, одна из которых будет снова лентой Мебиуса, а вторая - снова лента с двумя полуоборотами. Вообще, приступая к опытам над лентой Мебиуса, стоит

Лист Мебиуса

быть готовым к неожиданным открытиям, настолько удивителен и интересен этот геометрический объект.

Лист Мебиуса

В разных странах зарегистрировано немало изобретений, в основе которых все та же односторонняя поверхность. Например, в некоторых магнитофонах были использованы кассеты, где магнитная лента соединяется в кольцо и перекручивается, что значительно увеличило срок службы кассет. Сейчас применение ленты Мебиуса мы видим в одном из видов детского развлечения – американские горки.

Американские горки

Спираль ДНК

Наконец, есть предположение о том, что наша Вселенная закручена в ленту Мебиуса. Есть также гипотеза, что спираль ДНК сама по себе является фрагментом ленты Мебиуса, и именно этим объясняется сложность его расшифровки. Такая структура объясняет и причину наступления биологической смерти всего живого – лента замыкается сама на себя, в результате и происходит самоуничтожение.

Лист Мебиуса является объектом изучения новой ветви геометрии – топологии. Топологию часто называют «резиновой геометрией», потому что в ней любую фигуру можно сгибать, скручивать, растягивать, сжимать, но только не разрезать и склеивать. При этом считается, что свойства фигуры остаются неизменными.

Н.И.Лобачевский

Помимо топологии и известной со школьной скамьи евклидовой геометрии выделяют и геометрию Лобачевского, это та самая геометрия, где «параллельные прямые пересекаются». Конкретно, в геометрии Лобачевского предполагается, что в данной плоскости к данной прямой через не принадлежащую к этой прямой точку можно провести более одной параллельной прямой. Другая особенность этой геометрии - сумма углов треугольника меньше 180 градусов.

Проективная геометрия — это другой раздел геометрии, изучающий проективные плоскости и пространства. Проективная геометрия отличается от евклидовой геометрии тем, что в ней не используются понятия параллельности, перпендикулярности и равенства отрезков и углов и предполагается, что любые две прямые на плоскости имеют общую точку, то есть даже параллельные прямые. Тесно связанная с перспективой, проективная геометрия плоскости занимается изучением свойств и отношений, которые остаются неизменными.

Потребность человека в построении проекционных чертежей, возникла первоначально из практических задач строительства сооружений, укреплений, пирамид и т.д., а на позднем этапе - из запросов машиностроения и техники. Теория перспективы и светотени в настоящее время играет большую роль в технологии производства карт при помощи фотографий. Проективная геометрия и связанная с ней теория перспективы и начертательная геометрия необходимы инженеру, создающему что-то новое, и тем, кто осуществляет инженерный проект.

Новые ветви геометрии находят сейчас широкое применение не только в научных трудах, но и в практическом приложении. Пользуясь геометрической теорией, можно решать и такие задачи, как размещение выставочной экспозиции, поиск кратчайшего расстояния, вычисление длины пока еще не существующего моста и многие другие. Находит она применение и в баскетболе, и в футболе, и даже в бильярде.

Геометрия во всех своих разнообразных представлениях является наукой о свойствах пространства, в котором все мы живём. И понятия, которыми она зачастую оперирует, жизненно важны для человека и его существования. Геометрия существует и применяется везде, именно поэтому данная книга посвящена одной из красивых наук. В ней вы не найдете сложных и громоздких расчетов, длинных доказательств, мудреных обоснований. Геометрия – наглядная и простая по своей сути предстанет перед вами.

Лекция 1. Из истории геометрии

Если теорему так и не смогли доказать, она

становится аксиомой.

Евклид

Геометрия возникла очень давно, это одна из самых древних наук. Геометрия (греческое, от ge — земля и metrein — измерять) это, в первую очередь, наука о пространстве, ее значение определять размеры и границы частей пространства, которые в нем занимают различные телаРодиной геометрии считают обыкновенно Вавилон и Египет.

Возникновение геометрии всюду было связано с необходимостью измерять расстояния, участки на земле, объемы и веса продуктов, товаров. Однако точных сведений о познаниях египтян в области геометрии в настоящее время пока мы не имеем. Единственным первоисточником, дошедшим до нас, является папирус Ахмеса, который был им написан приблизительно в период между 2000 и 1700 г. до нашей эры.

Он содержит различного рода математические задачи и их решения; значительное большинство задач относится к арифметике, меньшая часть — к геометрии. Из геометрических задач можно назвать задачи измерения площади прямолинейных фигур и круга, причем площадь вычислялась для того времени довольно таки точно. Так, например, площадь равнобочной трапеции принималась равной произведению полусуммы параллельных сторон на боковую сторону. Также египтяне в эту пору уже знали, что углы прямоугольного треугольника определяются отношением катетов. Но как они пришли ко всем этим приближенным правилам, так и остается неизвестным.

Вавилонские математики умели делить окружность на 360⁰, точно воспроизводили прямые углы, умели вписывать в круг правильный шестиугольник. Можно сказать, что этот геометрический материал стал известен благодаря практическим потребностям при астрономических наблюдениях. Сами геометрические факты были получены, скорее всего, путем непосредственного наблюдения.

Появление геометрии в Греции связано с именем Фалеса Милетского (конец VII в. до н. э.).

Фалес Милетский

Считается, что Фалес первым сформулировал и доказал несколько геометрических теорем, а именно:

· вертикальные углы равны;

· имеет место равенство треугольников по одной стороне и двум прилегающим к ней углам;

· углы при основании равнобедренного треугольника равны;

· диаметр делит круг пополам;

· вписанный угол, опирающийся на диаметр, является прямым.

Фалес научился определять расстояние от берега до корабля, для чего использовал подобие треугольников. В основе этого способа лежит теорема, названная впоследствии теоремой Фалеса: если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают равные отрезки на одной его стороне, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Легенда рассказывает о том, что Фалес, будучи в Египте, поразил фараона Амасиса тем, что сумел точно установить высоту пирамиды, дождавшись момента, когда длина тени палки становится равной её высоте, и тогда измерил длину тени пирамиды.

Фалес в молодости много путешествовал по Египту, в результате общения многому научился у египтян, а, возвратившись на родину посвятил себя занятиям наукой, и открыл так называемую Ионийскую школу.

Египетская пирамида

Многие открытия Фалеса известны еще из школьных учебников геометрии, например, к ним относится теорема о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника, равенстве вертикальных углов и т. п. Дальнейшее развитие геометрии было определено быстро развивавшейся архитектурой, мореплаванием, необходимостью более точных исследований в области астрономии, физики, механики. Непосредственные задачи на измерение расстояния, постройки и возведения пирамид перестали удовлетворять возрастающим потребностям.

Необходимо было решать новые, более сложные задачи. Именно Ионийская школа придала теоретический характер геометрии, выделила ее как науку, в которой одно из ведущих мест начинает занимать абстрактная логика.

Дальнейшее развитие она получила в другой школе того времени – Александрийской школе, основателями которой были: Платон и Аристотель

Содержание геометрии того времени можно охарактеризовать уже другим термином – «метрическая геометрия». Стали появляться сочинения, в которых были сделаны попытки систематизировать накопленный материал. В основном, все они носили название «Начала геометрии». Из известных начал можно выделить «Начала» Прокла, Гиппократа Хиосого, Феодосии из Магнезии, и др. Ни одно из этих сочинений до нас не дошло, причем все они утратили свое значение и были забыты, когда появилось руководство по геометрии — «Начала» Евклида, жившего в конце IV — начале III в. до н. э.

Опираясь на труды своих предшественников, Евклид создал глубоко продуманную систему, сохранявшую руководящую роль в течение свыше двух тысяч лет.

Материал, содержащийся в «Началах», охватывает элементарную геометрию, как мы ее понимаем в настоящее время, именно поэтому учебники, по которым ведется первоначальное обучение геометрии, по существу, представляют собой переработку «Начал» Евклида.
Геометрия строится Евклидом достаточно просто, в основном, с опорой на наглядность. Так, например, равенство фигур у Евклида означает, что они могут быть совмещены движением, неравенство — что одна фигура может быть целиком или частями вмещена в другую.

Составленные «Начала» дают систематическое изложение начал геометрии. Начала состоят из 13 книг (или глав), каждая посвящена отдельной теме. Например, первые 6 книг содержат изложение планиметрии, 3 книги - арифметике в геометрическом изложении. Каждая книга начинается с определения всех тех понятий, которые в ней встречаются. Например: «Точка есть то, что не имеет частей», «Линия есть длина без ширины», «Границы линии суть точки», и так далее. Затем Евклид приводит предложения, принимаемые без доказательства, которые он разделяет на постулаты и аксиомы. В чем отличается аксиомы от постулатов, так и остается неясным. Для сравнения приведем постулат: «Требуется, чтобы от каждой точки ко всякой другой точке можно было провести прямую». Пример аксиомы: «Равные порознь третьему равны между собой».

Затем Евклид излагает теоремы геометрии, располагая их в такой последовательности, чтобы каждую теорему можно было доказать, пользуясь только предложениями, постулатами и аксиомами, то есть приведенными ранее утверждениями.

Заслуга Евклида, в первую очередь в том, что он первым поставил задачу обоснования геометрии, то есть перечисления определений и аксиом, на основе которых можно развивать геометрию строго логическим путем. Для его времени логическое построение геометрии было проведено достаточно точно, но с точки зрения современной математики оно имеет и недостатки. Например, многие определения неясны, в ряде случаев определение включает такие понятия, которые также должны быть определены, но это не сделано. Например, «Линия есть длина без ширины» - что именно стоит понимать под понятием «ширина»?

Виет

Также многие утверждения он принимает без доказательства, хотя, несмотря на наглядную очевидность этих фактов, они должны быть доказаны. Например, утверждение о том, что прямая, проходящая через внутреннюю точку окружности, пересекает эту окружность, в школьном курсе геометрии непременно требует доказательства.

После Евклида на протяжении многих веков никто не добавил что-нибудь существенного по сравнению с тем, что было сделано Евклидом. Но все это время особое место занимали исследования, связанные с V постулат Евклида, его то пытались убрать вообще из построения геометрии как ненужный, то видоизменить его содержание. Многочисленные доказательства V постулата привели к весьма интересным результатам, о которых будет сказано позже.

Дальнейшее развитие геометрии связано с именем Архимеда.

Этот период получил название эпохи великих геометров (или второй Александрийский период). Задачу, которую Евклид, обходил, — измерение, — Архимед поставил во главу угла. Заслуга Архимеда заключалась в том, что он установил теоретические основы, на которых покоится машиностроение, — он фактически создал основы механики. Механика требовала вычисления масс, а, следовательно, площадей и объемов, центров тяжести. Необходимость такой геометрии опять же можно объяснить прикладным направлением. Учение Архимеда существенно отличается от геометрии Евклида, но в своем изложении он придерживается системы построений геометрии Евклида.

Последовавшая затем гибель античной культуры, привела к глубокому упадку научной мысли, продолжавшемуся около 1000 лет, до эпохи Возрождения. Это не значит, однако, что математика в этот период совершенно заглохла. В условиях быстро развивавшейся торговли, мореплавания и городского строительства стала развертываться арабская наука, в которой математика играла очень важную роль. Впервые сочинения многих греческих геометров, в том числе и Евклида, были переведены на арабский язык. Однако математические интересы арабов в большей степени были сосредоточены на арифметике и алгебре.

Позже, в XVI в. появляются зачатки современной алгебры. В этой связи можно отметить имя Виета, которому принадлежат первые приложения алгебры к геометрии – Виет дает общие методы построения неизвестного отрезка с помощью циркуля и линейки.

В эпоху Возрождения зародилась и так называемая изобразительная геометрия. В XVII в. два гениальных французских математика, Ферма и Декарт, почти одновременно выдвигают идеи, приведшие к новому и очень широкому расцвету геометрической мысли.

Ферма

Появляется метод, дающий возможность выразить соотношения, которыми определяются геометрические объекты, при помощи уравнений, связывающих координаты его точек. Первое же систематическое изложение аналитической геометрии как целого дал Эйлер во втором томе своего «Введения в анализ бесконечных».

С именем французского математика Монжа связано появление именно начертательной геометрии, или, как ее правильнее называют немцы, изобразительной геометрии.

Задача изобразительной геометрии определяется в графическом воспроизведении образа заданного объекта, по которому можно было бы с точностью воспроизвести геометрические формы этого объекта. Ни одна отрасль геометрии не возникла так непосредственно из практических задач, как изобразительная геометрия. Стоит отметить, что первые систематические шаги в области изобразительной геометрии были сделаны еще в древности, римским зодчим и инженером Витрувием.

Однако его идеи не оказали большого влияния на развитие изобразительной геометрии, и она заново начала строиться именно в эпоху Возрождения. В этот период велика роль трех выдающихся представителей этой эпохи – итальянец Леонардо да Винчи (1452—1519), немецкий художник Дюрер (1471 —1528) и французский архитектор, инженер и математик Дезарг (1593—1662).

Художника Дюрера привлекали геометрия и теория перспективы. Всё творчество Дюрера проникнуто математикой. Об этом говорит не только геометрическая правильность изображения пространства и подчёркнутая соразмерность фигур и предметов на его картинах, гравюрах и рисунках, но и рассуждения в его печатных трудах, дневниках и письмах.

Велика и заслуга Монжа – он свел весь материал, собранный в применении к многообразным отдельным объектам, в стройную систему, названную начертательной геометрией Монжа. И по сей день преподавание начертательной геометрии ведется по его руководству.

Монж

В рамках начертательной геометрии выделилась одна из ее областей – проективная геометрия (или математическая основа черчения). В проективной геометрии не различают параллельные и пересекающиеся прямые, так как считается, что параллельные прямые тоже пересекаются, но просто в очень удаленной точке. Параллельные плоскости также пересекаются по удаленной прямой, которая у живописцев является линией горизонта. С помощью основ проективной геометрии живописцы Возрождения пытались изображать на плоскости объемные предметы так, как их видит глаз человека, создавая тем самым иллюзию пространства.

XIX век принес с собой глубокий переворот в содержании геометрии, в ее методах, наиболее характерной чертой новой геометрии стала ее алгебраизация. Но сам алгебраический метод был несовершенен, имел противоречия, не позволявшие решить любую геометрическую задачу, используя алгебру. К тому же при решении геометрических задач, выводе формул в цепи уравнений и алгебраических выкладок теряются наглядность, характеризующая изучаемый объект. Уже становится сложно в череде формул, записей увидеть геометрическую фигуру, тело, объяснить для какой цели производятся порой громоздкие расчеты.

Гильберт

В 1990 году Давидом Гильбертом на II Международном Конгрессе математиков в Париже был представлен список из 23 кардинальных проблем математики. Тогда эти проблемы, охватывающие основания математики, алгебру, теорию чисел, геометрию, топологию, алгебраическую геометрию, и многое другое, не были решены. На данный момент решены 16 проблем из 23. Ещё 2 не являются корректными математическими проблемам, так как одна сформулирована слишком расплывчато, чтобы понять, решена она или нет, а другая, скорей всего, является проблемой физики, а не математики. Из оставшихся 5 проблем две не решены никак, а три решены только для некоторых случаев.

Сам Гильберт как математик-геометр известен еще тем, что, подобно Евклиду, он попытался построить строгую систему оснований геометрии. Книга Гильберта «Основания геометрии», вышедшая в 1899 году сыграла большую роль в этой серии исследований. В ней впервые был дан список аксиом, достаточный для логического построения геометрии. Именно с «Оснований геометрии» начинается современный аксиоматический метод в геометрии.

В XIX же веке, наконец, закончились многовековые попытки доказательства пятого постулата Евклида. В результате появилась новая геометрия, ничуть не уступающая по значимости Евклидовой, но отличающейся от нее тем, что в ней V постулат не выполняется. Эта геометрия теперь называется неевклидовой, а в России носит имя Николая Ивановича Лобачевского, который впервые опубликовал работу с ее изложением. В 1826 году он пришел к убеждению в том, что V постулат не зависит от остальных аксиом геометрии Евклида, о чем сделал на заседании факультета казанского университета доклад, в котором были изложены начала открытой им «воображаемой геометрии». В течение многих лет преподавательской деятельности Н.И. Лобачевский настойчиво пытался доказать V постулат. Неудачи этих попыток и попыток многих его предшественников привели к выводу, что V постулат не может быть выведен из остальных постулатов. Чтобы доказать это, Н.И. Лобачевкий построил новую геометрию (называемую им воображаемой), в которой, сохранил все основные посылки Евклида, но V постулат заменил противоположным допущением. В результате он пришел к выводу, что эта логическая схема представляет собой совершенно новую геометрию, которая может быть развита так же успешно, как и геометрия Евклида. Открывая все новые и новые факты, Лобачевский не встретил в своей геометрии каких-либо явных противоречий, а также впоследствии решил проблему непротиворечивости этой геометрии.

А.Пуанкаре

Высоко оценил «Геометрические исследования» Гаусс, который еще с 90-х годов XVIII в. занимался теорией параллельности линий и пришел к тем же выводам, что и Лобачевский. Свои взгляды по этому вопросу Гаусс не публиковал, они сохранились только в его черновых записках и в немногих письмам к друзьям. Независимо от Лобачевского и Гаусса к открытию неевклидовой геометрии пришел венгерский математик Янош Бояи (1802-1860). Полное название труда Я. Бояи – «Приложение, содержащее науку о пространстве, абсолютно истинную, не зависящую от истинности или ложности XI аксиомы Евклида (что a priori никогда решено быть не может)» и его обычно коротко называют просто «Аппендикс».

В первой четверти XX в. представленные идеи получили новое развитие. Из многообразных идей, в XX в. складывается особая дисциплина — топология. Простейшие идеи топологии возникают из непосредственного наблюдения за окружающим миром, именно поэтому точно назвать период ее возникновения.

Топология - это геометрия, в которой нет места понятиям расстояние, форма, угол. Линия не бывает здесь прямой или кривой - это просто линия. Поверхность не может быть вогнутой или выпуклой, или плоской - это бессмысленные для топологии слова. Но зато топология различает отрезок и замкнутую линию - это для нее разные объекты. Первые важные наблюдения и точные топологические соотношения были найдены ещё Эйлером, Гауссом и Риманом. Но, как раздел науки топология была основана в конце 19 века А. Пуанкаре.

Дальнейшее развитие геометрии связано с векторно-моторным методом, применяющимся в строительной механике, машиностроении. Был также поставлен вопрос о геометризации физики. В этой связи можно упомянуть имя Минковского, который на основании теории Эйнштейна построил новую геометрию, называемую его именем.

Особенность представленной геометрии заключается в том, что мироздание, во всей его извечной динамике, рассматривается как некое многообразие, элементы которого определяются четырьмя координатами. Это, в первую очередь, дает возможность выразить процессы конечные во времени и пространстве.

Минковский

Наряду с проективной и неевклидовой геометриями, в начале девятнадцатого века возникла геометрическая дисциплина, применявшая методы приложений дифференциального и интегрального исчислений к геометрии. Она получила название дифференциальной геометрии.

В течение всего XIX века она изучала, в основном, свойства поверхностей в малых окрестностях произвольно данной точки. Лишь позже стали изучаться свойства поверхности во все других ее точках, тем самым характеризуя поверхность в целом.

Из работ, отражающих основные исследования в области дифференциальной геометрии можно назвать работы Б. К. Млодзеевского, С. П. Финикова, С. С. Бюшгенса, Кон-Фоссена, П. С. Урысона и других. По числу работ, посвященных многомерной дифференциальной геометрии и связанному с ней тензорному анализу эта часть геометрии оказалась на первом месте. Многомерной дифференциальной геометрией занимались В. Ф. Каган, П. А. Широков, П. К. Рашевский, Д. И. Перепелкин, А. Н. Колмогоров.

Можно назвать и много других замечательных математиков – А.Д. Александрова, П.С. Урысона, Л.С. Понтрягина — для перечисления всех фамилий не хватит и страниц в книге. Может, чьи-то имена еще не известны, поскольку они являются начинающими учеными. Какие-то области геометрии еще только начинают развиваться, и не известно, какие открытия в области этой удивительной науки еще ждут нас. Чьи-то имена мы не упомянули, но это не значит, что забыта их роль и значение