Лекция 6. Фракталы

Когда-то большинству людей казалось, что геометрия в природе ограничивается такими простыми фигурами, как линия, круг, коническое сечение, многоугольник, сфера, квадратичная поверхность, а также их комбинациями.

Однако многие природные системы: горные хребты, система кровообращения человека, настолько сложны и нерегулярны, что использование только знакомых объектов классической геометрии для их моделирования представляется безнадежным.

Для моделирования подобных систем требовалось введение в геометрию новых средств исследования. Такими средствами стали фракталы, появление которых положило начало развитию нового направления в математической науке – фрактальной геометрии.

Понятия фрактал и фрактальная геометрия, появившиеся в конце 70-х, с середины 80-х прочно вошли в обиход математиков и программистов. Слово фрактал образовано от латинского fractus и в переводе означает состоящий из фрагментов. Оно было предложено Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения особых структур, которыми он занимался. Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Мандельброта «The Fractal Geometry of Nature» («Фрактальная геометрия природы»). В его работах использованы научные результаты других ученых, работавших в период 1875-1925 годов в той же области (Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф). Но только в наше время удалось объединить их работы в единую систему.

Основными исследованиями в области фрактальной геометрии занимались зарубежные ученые; основные научные труды, давшие начало новой математической дисциплине, издаются зарубежными авторами.

Роль фракталов в машинной графике сегодня достаточно велика. Они приходят на помощь, например, когда требуется, с помощью нескольких коэффициентов, задать линии и поверхности очень сложной формы. С точки зрения машинной графики, фрактальная геометрия незаменима при генерации искусственных облаков, гор, поверхности моря. Фактически найден способ легкого представления сложных неевклидовых объектов, образы которых весьма похожи на природные.

Одним из основных свойств фракталов является самоподобие. В самом простом случае небольшая часть фрактала содержит информацию о всем фрактале, потому что в каждой своей части фрактал повторяет всего себя.

Определение фрактала, данное Мандельбротом, звучит так: "Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому". Характерное для фракталов свойство он назвал самоподобием, оно состоит в том, что структура, которую объект имеет на макроуровне, повторяется и на микроуровне

К наиболее наглядным и простым фракталам можно отнести: ковер Серпинского (рис.27), салфетка Серпинского (рис.28), Ажурное множество Жули (рис.29).

Для построения салфетки Серпинского возьмем треугольник А₁А₂А₃. Разделим его на 4 треугольника средними линиями. Выбросим внутренний треугольник, а три остальных разделим аналогично, и т.д. Данный фрактал обладает тем свойством, что площадь этой салфетки стремится к нулю. Также все треугольники получаются вложены друг в друга, а по известной лемме о вложенных отрезках, существует единственная общая точка, которая принадлежит всем треугольникам последовательности.

Ковер Серпинского строится аналогично салфетке Серпинского, но отличие состоит в том что в основе ковра лежит квадрат.

И, наконец, множества Жюли получаются из треугольников, добавлением новых треугольников по краям двух данных, соединенных общей вершиной.

Для чтобы представить все многообразие фракталов удобно прибегнуть к их общепринятой классификации.

Самые наглядные фракталы принадлежат классу геометрических фракталов. В двухмерном случае их получают с помощью некоторой ломаной (или поверхности в трехмерном случае), называемой генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную-генератор, в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры, получается геометрический фрактал.

Рис.30

Рассмотрим один из таких фрактальных объектов - триадную кривую Кох. Построение кривой начинается с отрезка единичной длины - это 0-е поколение кривой Кох. Далее каждое звено (в нулевом поколении один отрезок) заменяется на образующий элемент, обозначенный через n=1. В результате такой замены получается следующее поколение кривой Кох. В 1-ом поколении - это кривая из четырех прямолинейных звеньев, каждое длиной по 1/3. Для получения 3-го поколения проделываются те же действия - каждое звено заменяется на уменьшенный образующий элемент. Итак, для получения каждого последующего поколения, все звенья предыдущего поколения необходимо заменить уменьшенным образующим элементом. Кривая n-го поколения при любом конечном n называется предфракталом. На рисунке 30 представлены пять поколений кривой. При n стремящемся к бесконечности кривая Кох становится фрактальным обьектом.

«Дракон" Хартера-Хейтуэя.

Для получения другого фрактального объекта нужно изменить правила построения. Пусть образующим элементом будут два равных отрезка, соединенных под прямым углом. В нулевом поколении заменим единичный отрезок на этот образующий элемент так, чтобы угол был сверху. Можно сказать, что при такой замене происходит смещение середины звена. При построении следующих поколений выполняется правило: самое первое слева звено заменяется на образующий элемент так, чтобы середина звена смещалась влево от направления движения, а при замене следующих звеньев, направления смещения середин отрезков должны чередоваться. Предельная фрактальная кривая (при n стремящемся к бесконечности) называется драконом Хартера-Хейтуэя.

В машинной графике использование геометрических фракталов необходимо при получении изображений деревьев, кустов, береговой линии. Двухмерные геометрические фракталы используются для создания объемных текстур (рисунка на поверхности обьекта).

Вторая группа фракталов, более сложная, но в то же время самая крупная – это алгебраические фракталы. Получают их с помощью нелинейных процессов в n-мерных пространствах. Наиболее изучены двухмерные процессы. Известно, что нелинейные динамические системы обладают несколькими устойчивыми состояниями. То состояние, в котором оказалась динамическая система после некоторого числа итераций, зависит от ее начального состояния. Поэтому каждое устойчивое состояние (или как говорят - аттрактор) обладает некоторой областью начальных состояний, из которых система обязательно попадет в рассматриваемые конечные состояния. Если фазовым является двухмерное пространство, то окрашивая области притяжения различными цветами, можно получить цветовой фазовый портрет этой системы. Меняя алгоритм выбора цвета, можно получить сложные фрактальные картины с причудливыми многоцветными узорами.

Фракталы окружают нас повсюду: и в живой природе, и в неживой. Так, например, один из подвидов цветной капусты несомненно имеет форму фрактала.

Цветная капуста

На сегодняшний день актуальность данного направления в математической науке неоспорима. Фрактальная геометрия имеет огромный потенциал применения в самых разных областях человеческой деятельности. Применение фракталов позволяет намного упростить сложные процессы и объекты, что очень важно для моделирования, позволяет описать нестабильные системы и процессы и, самое главное, предсказать будущее таких объектов. Широчайшее применение фрактальные структуры находят в компьютерной технике, программировании, экономике. Спектр приложений фракталов огромен и будет неуклонно расширяться.