![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
|
Рис. 28.
Означення 1. Функція називається неперервною в точці
, якщо вона визначена в точці
, а також в деякому околі цієї точки, і якщо н.м. приросту аргумента
відповідає н.м. приріст функції
, тобто
, (1)
або рівносильне цьому
(2)
Перетворимо рівність (2)
Оскільки
, то
, і крім того,
(
стала!), то далі маємо
(3)
Отже, якщо функція неперервна в точці , то границя функції дорівнює значенню цієї функції в точці
. Якщо ж врахувати, що
, то рівність (3) запишеться
(4)
Рівність (4) означає, що для неперервної функції можна переходити до границі під знаком функції.
Довести, що функції є неперервними в довільній точці
.
1. Нехай . Тоді для
знаходимо
.
Звідки знаходимо
Із неперервна функція для
Аналогічно можна довести, що неперервними є функції натуральне).
2. Нехай .
Подібно попередньому для знаходимо
,
при
.
3. Нехай .
Для
маємо
,
див. формулу 8 таблиці»
еквівалентних із 3.12
, при
.
4. Нехай
Для
» Див. формулу 7 із 3.12. таблиці
.
еквівалентних н.м.
Отже, неперервна функція для
. Враховуючи (4), можна сказати, що
це і було використано в 3.12 при доведенні формули (1).
Подібним чином можна довести неперервність решти основних елементарних функцій в довільній точці , де ці функціїї визначені.
Означення 2. Якщо функція неперервна в кожній точці деякого інтервалу
, де
, то кажуть, що функція неперервна на цьому інтервалі.
Якщо функція визначена в точці
і при цьому
, то говорять, що
неперервна справа в точці
. Якщо
, то говорять, що
неперервна зліва в точці
.
Якщо функція неперервна на інтервалі
і неперервна на кінцях цього інтервала, відповідно справа і зліва, то говорять, що функція
неперервна на всьому відрізку
.
Наведемо без доведення наступну теорему.
Теорема. Всяка елементарна функція неперервна в кожній точці, в якій вона визначена.
Дата публикования: 2015-11-01; Прочитано: 391 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!