Решим задачу с помощью пакета MS Excel

Максимизируем целевую функцию f(x) = 21х₁ + 56х₂ при ограничениях:

Решим задачу с помощью MS Excel. Сервис – Поиск решения

	Переменные
	x1	x2
Значение			ЦФ	Напр
Коэф. В ЦФ				макс
	Ограничения
	x1	x2	левая часть	знак	правая часть
Первое сырье				<=
Второе сырье				<=
Третье сырье				<=

	Переменные
	x1	x2
Значение		49,5	ЦФ	Напр
Коэф. В ЦФ				макс
	Ограничения
	x1	x2	левая часть	знак	правая часть
Первое сырье				<=
Второе сырье				<=
Третье сырье				<=

Предприятие должно выпускать 45 ед. продукции первого вида, 49,5 единиц продукции второго вида. При этом прибыль будет максимальной и составит 3717 ден. единиц.

Задача №2.

По заданной таблице ожидаемой прибыли как функции полных капиталовложений, используя метод динамического программирования, построить таблицу получения оптимальной прибыли от вложения капитала от 1 до 10 млн. ден. ед. в три фонда: А, В и С. По полученной таблице найти максимальную прибыль и распределение вложений в предприятия при наличии суммарного капитала величиной 6.

Вложения, млн. д. ед.	Прибыль
А	В	С
	0,15	0,25	0,29
	0,25	0,41	0,46
	0,40	0,55	0,58
	0,50	0,65	0,64
	0,62	0,75	0,70
	0,73	0,80	0,76

Решение.

Управление каждого шага состоит в выделении средств какому-то определенному фонду, поэтому разбиваем управление на 3 шага, номер шага будет соответствовать номеру фонда.

Состояние системы будем связывать с имеющимися для распределения средствами, тогда S₀ = 6 ден. ед., а . Управлением каждого шага x_k будет отражать количество выделяемых средств к k-ой фонду.

Система S – распределяемые денежные средства.

Она имеет следующие средства:

S_нач = S₀ – начальные средства

S₁ – средства выделены первому фонду, остальным еще не распределялись.

S₂ – средства выделены первому и второму фондам, остальным еще не распределялись.

S₃ = Sкон – все средства распределены между тремя фондами.

- это количество средств, которые необходимо вложить в каждый фонд, чтобы прибыль была максимальной.

Составим уравнение Беллмана:

;

Составим таблицу для вычислений (см. таблицу 1).

Таблица 1. Распределение инвестиций между предприятиями

Sk-1	xk	Sk	k = 2	k = 1
f2(x2)+z3*(S2)	z2(S1)	x2(S1)	f1(x1)+z2*(S1)	z1(S0)	x1(S0)
				+		=					+		=
				+	0,29	=	0,29	0,29			+	0,29	=	0,29	0,29
		0,25	+		=	0,25			0,15	+		=	0,15
				+	0,46	=	0,46				+	0,54	=	0,54	0,54
		0,25	+	0,29	=	0,54	0,54		0,15	+	0,29	=	0,44
		0,41	+		=	0,41			0,25	+		=	0,25
				+	0,58	=	0,58				+	0,71	=	0,71	0,71
		0,25	+	0,46	=	0,71	0,71		0,15	+	0,54	=	0,69
		0,41	+	0,29	=	0,7			0,25	+	0,29	=	0,54
		0,55	+		=	0,55			0,4	+		=	0,4
				+	0,64	=	0,64				+	0,87	=	0,87	0,87
		0,25	+	0,58	=	0,83			0,15	+	0,71	=	0,86
		0,41	+	0,46	=	0,87	0,87		0,25	+	0,54	=	0,79
		0,55	+	0,29	=	0,84			0,4	+	0,29	=	0,69
		0,65	+		=	0,65			0,5	+		=	0,5
				+	0,7	=	0,7				+	1,01	=	1,01
		0,25	+	0,64	=	0,89			0,15	+	0,87	=	1,02	1,02
		0,41	+	0,58	=	0,99			0,25	+	0,71	=	0,96
		0,55	+	0,46	=	1,01	1,01		0,4	+	0,54	=	0,94
		0,65	+	0,29	=	0,94			0,5	+	0,29	=	0,79
		0,75	+		=	0,75			0,62	+		=	0,62
				+	0,76	=	0,76				+	1,13	=	1,13
		0,25	+	0,7	=	0,95			0,15	+	1,01	=	1,16	1,16
		0,41	+	0,64	=	1,05			0,25	+	0,87	=	1,12
		0,55	+	0,58	=	1,13	1,13		0,4	+	0,71	=	1,11
		0,65	+	0,46	=	1,11			0,5	+	0,54	=	1,04
		0,75	+	0,29	=	1,04			0,62	+	0,29	=	0,91
		0,8	+		=	0,8			0,73	+		=	0,73

Вывод:

При S₀ = 6 ден. ед. z_max = 1,16 ден. ед.

x₁*(6) = 1

S₁ = S₀ – x₁* = 6 – 1 = 5

x₂*(S₁) = x₂*(5) = 3

S₂ = S₁ – x₂* = 5 – 3 = 2

x₃*(S₂) = x₃*(2) = S₂ = 2

Ответ: х* = (1; 3; 2) z_max = 1,16 ден. ед.

Оптимальное распределение средств S₀ = 6 ден. ед. между тремя фондами:

фонду А – 1 ден. ед.; фонду В – 3 ден. ед.; фонду С – 2 ден. ед.

Полученная прибыль составляет 1,16 ден. ед.

Задача №3.

Построить математическую модель задачи линейного программирования и решить задачу.

Для участия в соревнованиях спортклуб должен выставить команду, состоящую из спортсменов I и II разрядов. Соревнования проводятся по бегу, прыжкам в высоту, прыжкам в длину. В беге должны участвовать 5 спортсменов, в прыжках в длину – 8 спортсменов, а в прыжках в высоту – не более 10. Количество очков, гарантируемых спортсмену каждого разряда по каждому виду, указано в следующей таблице:

Разряд	Бег	Прыжки в высоту	Прыжки в длину
I
II

Распределите спортсменов в команды так, чтобы сумма очков команды была наибольшей, если известно, что в команде I разряд имеют только 10 спортсменов.

Решение.

Составим математическую модель задачи:

Пусть количество спортсменов I разряда участвующих в беге будет х₁; в прыжках в длину - х₂, в прыжках в высоту – х₃, а количество спортсменов II разряда участвующих в беге будет х₄; в прыжках в длину - х₅, в прыжках в высоту – х₆.

Максимизируем целевую функцию f(x) = 4х₁ + 5х₂ + 5х₃ + 2х₄ + 3х₅ + 3х₆ при ограничениях:

(2)

Решим задачу с помощью MS Excel. Сервис – Поиск решения

	Переменные
	x1	x2	x3	x4	x5	x6
Значение							ЦФ	Напр
Коэф. В ЦФ								макс
	Ограничения
	x1	x2	x3	x4	x5	x6	левая часть	знак	правая часть
Ограничение по бегу								=
Ограничение по пр.в дл.								=
Ограничение по пр. в. выс.								<=
Ограничение по кол-ву I р.								=

	Переменные
	x1	x2	x3	x4	x5	x6
Значение							ЦФ	Напр
Коэф. В ЦФ								макс
	Ограничения
	x1	x2	x3	x4	x5	x6	левая часть	знак	правая часть
Ограничение по бегу								=
Ограничение по пр.в дл.								=
Ограничение по пр. в. выс.								<=
Ограничение по кол-ву I р.								=

Оптимальная производственная программа:

Для достижения максимальной суммы очков команды, равной 84 балла, необходимо выставить на соревнования 5 спортсменов I разряда в беге, 5 спортсменов I разряда в прыжках в длину, 3 спортсмена II разряда в прыжках в длину и 10 спортсменов II разряда в прыжках в высоту.

Спортсменов I разряда не следует выставлять на прыжки в высоту, а спортсменов II разряда не следует выставлять в соревнованиях по бегу.

Список используемой литературы

1. Афанасьев М.Ю., Багриновский К.А., Матюшок В.М. Прикладные задачи исследования операций. Учебное пособие. М.: Инфра-М, 2006.

2. Лачуга Ю.Ф., Самсонов В.А., Дидманидзе О.Н. Прикладная математика. М.: Колос, 2001.