Основы теории характеристических функций

Комплексная случайная величина Z определяется с помощью двумерной случайной величины (X,Y) следующим выражением

Операции над комплексными случайными величинами совпадают с операциями над комплексными числами.

Рассмотрим скалярную функцию случайных аргументов и числа i.

тогда в теории вероятности математическое ожидание случайной величины вычисляется по тем же формулам, что и , просто i считают постоянным параметром.

Найдем мат.ожидание случайной величины Z.

1. Для комплексной случайной величины справедливы свойства аддитивности и мультиплекативности мат.ожидания.

2. Комплексные случайные величины Z₁ и Z₂ называются независимыми, если независимы между собой двумерные случайные величины , т.е. попарно независимы

Пусть Z₁ и Z₂ независимые комплексные случайные величины. Найдем мат.ожидание произведения

3.

а) дискретный случай

б) непрерывный случай

Двумерная случайная величина XY имеет плотность вероятности f(x,y).

Характеристической функцией действительной случайной величины X называется функция