Свойства сравнений, не зависящие от модуля

Теорема 20. Пусть m ℕ, m ≠ 1. Тогда для любых целых чисел выполняются утверждения:

1) если a ≡ b (mod m) и с ≡ d (mod m), то а ± с ≡ b ± d (mod m),

ac ≡ bd (mod m).

т.е. сравнения можно почленно складывать, вычитать, перемножать.

2) если a ≡ b (mod m), то ac ≡ bс (mod m), с ℤ,

aⁿ ≡ bⁿ(mod m), n ℕ.

a+c ≡ b+с (mod m), с ℤ

Т.е. обе части сравнения можно умножать на одно и то же целое число, возводить в одну и ту же натуральную степень, а также к обеим частям сравнения можно прибавлять одно и то же целое число.

3) Выражение можно переносить из одной части сравнения в другую с противоположным знаком.

Например, если а + с ≡ b (mod m), то a ≡ b – c (mod m) или

если a ≡ b (mod m), то а – b ≡ 0 (mod m).

Доказательство:

1) Пусть a ≡ b (mod m) и с ≡ d (mod m)

a – b = mk₁ (1), c – d = mk₂ (2), k_1,k₂ ℤ.

(1)+(2): (a + c) – (b + d) = m(k₁ + k₂) ((a + c)- (b + d)) m

a + c ≡ b + d (mod m).

(1)–(2): (a - c) – (b – d) = m(k₁ - k₂) a - c ≡ b – d (mod m).

: ac – bc + bc – bd = m(ck₁ + bk₂) ac ≡ bd (mod m).

2)Пусть a ≡ b (mod m) по1) a + c ≡ b + с (mod m)

ac ≡ bc (mod m).

Т.к. aⁿ ≡ bⁿ (mod m).

3) Очевидно (следует из 2)). Теорема доказана.

Замечание: теорема 20 справедлива для любого числа сравнений.