![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Теорема 20. Пусть m ℕ, m ≠ 1. Тогда для любых целых чисел выполняются утверждения:
1) если a ≡ b (mod m) и с ≡ d (mod m), то а ± с ≡ b ± d (mod m),
ac ≡ bd (mod m).
т.е. сравнения можно почленно складывать, вычитать, перемножать.
2) если a ≡ b (mod m), то ac ≡ bс (mod m), с
ℤ,
an ≡ bn(mod m), n
ℕ.
a+c ≡ b+с (mod m), с
ℤ
Т.е. обе части сравнения можно умножать на одно и то же целое число, возводить в одну и ту же натуральную степень, а также к обеим частям сравнения можно прибавлять одно и то же целое число.
3) Выражение можно переносить из одной части сравнения в другую с противоположным знаком.
Например, если а + с ≡ b (mod m), то a ≡ b – c (mod m) или
если a ≡ b (mod m), то а – b ≡ 0 (mod m).
Доказательство:
1) Пусть a ≡ b (mod m) и с ≡ d (mod m)
a – b = mk1 (1), c – d = mk2 (2), k1,k2 ℤ.
(1)+(2): (a + c) – (b + d) = m(k1 + k2) ((a + c)- (b + d))
m
a + c ≡ b + d (mod m).
(1)–(2): (a - c) – (b – d) = m(k1 - k2) a - c ≡ b – d (mod m).
: ac – bc + bc – bd = m(ck1 + bk2)
ac ≡ bd (mod m).
2)Пусть a ≡ b (mod m) по1) a + c ≡ b + с (mod m)
ac ≡ bc (mod m).
Т.к.
an ≡ bn (mod m).
3) Очевидно (следует из 2)). Теорема доказана.
Замечание: теорема 20 справедлива для любого числа сравнений.
Дата публикования: 2015-11-01; Прочитано: 557 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!