Кольцо классов вычетов по модулю m

Определение 13. Пусть ℤ _m - множество всех классов вычетов по модулю m. Определим операции «+» и «×» на множестве ℤ _m по следующему правилу:

(1)

(2), ℤ _m.

Пример:

ℤ ₆ ={ }, , (используем Замечание 2).

Лемма 1. Операции «+» и «×» на множестве ℤ _m, заданные формулами (1), (2) определены корректно, т.е. результат операций не зависит от выбора представителей классов, т.е. если , то .

Доказательство:

Так как , то , и (mod m), (mod m) и , , то

.

Теорема 14. Множество ℤ _m всех классов вычетов по модулю m является ассоциативно-коммутативным кольцом с единицей, причем

1) если m- составное число, то ℤ _m - кольцо с делителями 0.

2) если m = р- простое число, то ℤ _m - поле характеристики р.

Доказательство: Проверим, что для ℤ _m выполняются все условия определения кольца.

1) Операции «+» и «×», заданные формулами (1), (2) являются алгебраическими в силу определения 13.

а) Так как сложение и умножение классов вычетов сводится к сложению и умножению целых чисел, а на ℤ операция «+» и «×» ассоциативно-коммутативны и выполняются дистрибутивные законы, то на ℤ _m операции ассоциативные, коммутативные и выполняются дистрибутивные законы.

б) ℤ _m, такой, что ℤ _m: + = + =

в) ℤ _m, ℤ _m, такой, что + = =

г) ℤ _m, причем : × =

Таким образом,. ℤ _m - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей.

2) 1. Пусть m – составное число, тогда m=m ×m ,где 1 < m_i<m, i= 1,2 , , причем ⋅ = = = ℤ _m - кольцо с делителями нуля и .

2. Пусть m=p – простое число. Покажем, что ⋅ ℤ _p - поле.

Пусть (ℤ_p) . Покажем что - обратим.

Так как , то (a,p) = 1 x,y Îℤ, такие что 1= a×x+p×y = = + = = - элемент обратный для ℤ_p-поле.

Покажем, что Char ℤ_p= p

а) покажем, что p × = + +…+ = = = , т. е. p × = (*)

б) покажем, что p – наименьшее натуральное число удовлетворяющее (*)

n N, n<p: , т. е. p – наименьшее натуральное число удовлетворяющее (*).

Из а), б) Char ℤ_p = p.