Постановка задачи. Если , и непрерывны в окрестности корня, эту дополнительную информацию о свойствах функции

Если , и непрерывны в окрестности корня, эту дополнительную информацию о свойствах функции можно использовать для построения алгоритмов, которые порождают последовательности, которые сходятся к корню быстрее, чем при методе деления пополам. Метод Ньютона-Рафсона (или просто Ньютона, также имеет название метод касательных и метод линеаризации) является одним из наиболее полезных и известных алгоритмов, в котором используется непрерывность первой и второй производной. Он быстро сходится и допускает различные модификации, применяемые для решения отдельных задач. Однако этот метод является эффективным при достаточно жестких ограничениях на характер функции :

1. существование второй производной функции на множестве ;

2. выполнение первого условия для всех ;

3. знакопостоянство , для всех .

Геометрическая интерпретация метода Ньютона состоит в следующем. Задается начальное приближение . Далее проводится касательная к кривой в точке (рис. 5.1), то есть кривая заменяется прямой линией. В качестве следующего приближения выбирается точка пересечения этой касательной с осью абсцисс. Процесс построения касательных и нахождение точек пересечения с осью абсцисс повторяется до тех пор, пока приращение не станет меньше заданной величины .

Получаем расчетную формулу метода Ньютона. Вместо участка кривой ВС (точка С соответствует ) возьмем участок АВ – касательную, проведенную в точке с координатами . Для этого отрезка справедливо конечное соотношение:

(4.7)

где - угол наклона касательной в точке к оси абсцисс.

Решая (4.7) относительно , получаем:

Рис. 4.7 Геометрические построения для метода Ньютона

(4.8)

Повторяя процесс, находим общую формулу:

(4.9)

Отметим, что если убрать итерационный индекс, то (4.9) перепишется в виде нелинейного уравнения:

(4.10)

которое, однако, на не будет эквивалентным исходному, а является таким только в одной точке при .

Применим теперь для получения формулы (4.9) метод линеаризации. Предположим, что процесс итераций имеет вид:

, где (4.11)

где - поправка для - го приближения, которое нужно найти. Предполагая, что имеет непрерывную вторую производную, разложим по формуле Тейлора в окрестности точки :

(4.12)

где . Учитывая то, что (что соответствует нахождению точки пересечения с осью абсцисс), и, оставляя только линейную (относительно ) часть разложения (отсюда и название – метод линеаризации), запишем линейное уравнение относительно :

(4.13)

Отсюда можно найти поправку . Подставляя в (4.11), получим (4.9).

Замечание:

1) Из рис. 4.7 можно заметить, что если начать строить касательные из точки а, то найдется не принадлежащая интервал , где функция может быть даже не определенной. Таким образом, можно сформулировать правило выбора начальной точки : в качестве начальной точки берем тот конец интервала , которому соответствует ордината с тем же знаком, что и знак .

Это правило можно записать в виде формулы:

(4.14)

2) Из графической аналогии метода очевидным является требование сохранения знаков и : функция на отрезке не должна иметь перегибов и изменение монотонности.

Теорема (о достаточных условиях сходимости метода Ньютона):

Пусть выполняются условия:

1. Функция определена и дважды непрерывно дифференцируемая на отрезке .

2. Отрезку принадлежит только один простой корень , такой что .

3. Производные , на сохраняют знак, и .

4. Начальное приближение удовлетворяет неравенству (знаки функций и в точке сходятся).

Тогда при помощи метода Ньютона (9) можно вычислить корень уравнения с произвольной точностью .