Теорема о необходимом и достаточном условии существовании обратной матрицы

Обратная матрица существует (и единственна) тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденная

Правило нахождения обратной матрицы.

Существует несколько методов вычисления обратной матрицы. Рассмотрим один из них, так называемый «метод с использованием алгебраических дополнений»

Для нахождения обратной матрицы для матрицы А необходимо выполнить пять действий:

1.Вычислить определитель матрицы А.

2. Вычислить все алгебраические дополнения для каждого элемента матрицы А.

3. Составить вспомогательную матрицу из вычисленных дополнений.

4. Транспонировать вспомогательную матрицу , обозначим её

5. Определить обратную матрицу по формуле: =

Пример: Найти обратную матрицу для матрицы А:

А=

Решение:

1. Вычисляем определитель матрицы А:

= =1*2*1 - 3*2*1 + 5*1*6 - 6*2*1 - 3*5*1 + 1*2*1=1

2. Вычисляем алгебраические дополнения к каждому элементу матрицы А:

=4 =3 =-18

=-7 =-5 =32

=3 =2 =-13

3. Составляем вспомогательную матрицу

=

4. Транспонируем матрицу

=

5 Строим обратную матрицу

=

Проверить правильность вычислений. Для этого умножим обратную матрицу на исходную:

А= х =

Значит вычисления выполнены правильно.