Действия над матрицами

Основные понятия и определения матриц

Произвольная система совокупности чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы, содержащей m строк и n столбцов, называется матрицей. Матрицы обозначаются заглавными буквами латинского шрифта A, B, C, D и т.д. В общем случае матрица размером m x n записываются следующим образом:

где - элемент матрицы, i – номер строки, j- номер столбца, на пересечении которых находится элемент .

2. Виды матриц.

Матрицы по форме бывают:

- квадратные, когда n=m;

- прямоугольные, n>m или n<m;

- матрица-столбец, состоящая только из одного столбца;

- матрица – строка, состоящая из элементов одной строки.

Квадратные матрицы по содержанию различают:

- единичные матрицы, когда по главной диагонали, условно проведённой линии с левого угла матрицы к нижнему правому углу, находятся единицы, а все другие элементы матрицы равны нулю;

- диагональные матрицы, когда по главной диагонали находятся любые числа, а все другие элементы равны нулю;

- нулевая матрица – все элементы такой матрицы содержат нули.

-

Единичные матрицы обычно обозначают буквой E= , диагональные матрицы, к примеру, имеют вид D=

Единичная и нулевая матрицы при различных операциях играют роль как 0 и 1 в арифметике.

Действия над матрицами.

Операции с матрицами по некоторым действиям совпадают с операциями с числами в арифметике. Матрицы можно складывать друг с другом, вычитать, умножать на число, перемножать между собой. В каждом случае при этом необходимо соблюдать некоторые условия. Так, например, проводить сложение или вычитание матриц можно только матрицы одинакового размера; при умножение матрицы на матрицу необходимо, что бы матрицы были соизмеримы, т.е. число столбцов первой матрицы равнялось число строк второй матрицы; при умножение матрицы на число необходимо умножить каждый член этой матрицы на число.

Примеры:

а) Сложить А+В, если А= , В=

А+В= =

б) Умножить матрицу А на число =-3, если матрица А= , получим:

А= -3х =

в) Умножить матрицы А и В, если А= , В=

Сначала сформулируем правило умножения матриц:

При умножении матриц А на В каждый элемент полученной матрицы С равен сумме произведений элементов строки первой матрицы на соответствующие элементы столбцов второй матрицы.

В результате получим:

АВ= = =

Кратко правило умножения матрицы на матрицу можно сформулировать так: «Производится последовательное умножение строк первой матрицы на столбцы второй матрицы». Формула для определения элемента матрицы С можно представить в виде:

(i=1,2….m; j=1,2,3….p)

Свойства произведения матриц:

Определители

Определителем матрицы А называется число полученное вычисления по специальному правилу, проведённому над элементами матрицы А. Определители вычисляются только для квадратных матриц. Обозначение определителей для матриц в общем случае принято таковым:

det A, Δ. Например: для матрицы А= , определитель или det A= и т.д.

Таким образом, определитель также состоит из чисел расположенных, как и матрица, в виде таблицы. Числа определителя называются элементами, и каждое из них занимает определённое место относительно строк и столбцов .