Уравнения потенциального движения

Потенциалом поля скоростей фильтрационного течения называется функция:

. (4.6)

Равенство (4.6) можно переписать в виде:

(4.7)

или, учитывая закон Дарси:

. (4.8)

Здесь r`u – вектор массовой скорости фильтрации; gradj – градиент потенциала j, направленный в сторону его быстрейшего возрастания:

; (4.9)

i, j, k – единичные векторы, направленные по осям координат x, y, z.

Подставляя (4.8) в (4.1) получим:

, (4.10)

а для установившегося течения:

(4.11)

Уравнения (4.10) и (4.11) называют уравнениями Лапласа относительно функции j, а оператор Dj – оператором Лапласа.

Уравнение Лапласа имеет два важных свойства, которые приводят к принципу суперпозиции и имеют большое практическое приложение: сумма частных решений является также решением уравнения Лапласа; произведение частного решения на константу – также решение.

В скалярной форме оператор Лапласа имеет вид:

(4.12)