Логические формулы

Запишем в форме логического выражения составное высказывание

(2*2=5 или 2*2=4) и (2*2 ≠ 5 или 2*2 ≠ 4)

Проанализируем составное высказывание. Что оно содержит?
Оно содержит два простых высказывания:

А= ”2*2=5” – ложно (0)
В= “2*2=4” – истинно (1)

Тогда давайте перепишем составное высказывание. Что получится?

(А или В) и (А или В)

Теперь необходимо записать высказывание в форме логического выражения.
Что нужно сделать для этого?
Нужно подставить знаки логических операций

(AvB)&(AvB)

Теперь выполняем логические операции, причем в строго определенном порядке:

1. отрицание,

2. конъюнкция,

3. дизъюнкция,

4. импликация,

5. эквиваленция

Подставим в логическое выражение значения логических переменных и получим значение логической функции:

F = (AvB)&(AvB) = (0v1) & (1v0) = 1&1 = 1

С помощью логических переменных и символов логических операций любое высказывание можно формализовать, то есть заменить логической формулой.

Определение логической формулы:

Всякая логическая переменная и символы "истина" ("1") и "ложь" ("0") — формулы.

Если А и В — формулы, то ┐А, А. В, А v В, А B, А В — формулы.

Никаких других формул в алгебре логики нет!!!

В качестве примера рассмотрим высказывание "если я куплю яблоки или абрикосы, то приготовлю фруктовый пирог". Это высказывание формализуется в виде (A v B) → C.

Такая же формула соответствует высказыванию "если Игорь знает английский или японский язык, то он получит место переводчика".

Как показывает анализ формулы (A v B) →C, при определённых сочетаниях значений переменных A, B и C она принимает значение "истина", а при некоторых других сочетаниях — значение "ложь". Такие формулы называются выполнимыми.

Некоторые формулы принимают значение "истина" при любых значениях истинности входящих в них переменных. Таковой будет, например, формула А v┐А, соответствующая высказыванию "Этот треугольник прямоугольный или косоугольный". Эта формула истинна и тогда, когда треугольник прямоугольный, и тогда, когда треугольник не прямоугольный. Такие формулы называются тождественно истинными формулами или тавтологиями.

Высказывания, которые формализуются тавтологиями, называются логически истинными высказываниями.

Если две формулы А и В одновременно принимают одинаковые значения, то они называются равносильными.

Равносильность двух формул алгебры логики обозначается символом "=" или символом "" Замена формулы другой, ей равносильной, называется равносильным преобразованием данной формулы.