Фрактальная геометрия природы

В XX в. был разработан теоретический язык, адекватно описыва­ющий иерархические природные структуры, которые возникают в ходе эволюционного развития. Основное понятие этого языка — по­нятие фрактала. Фракталом называется структура, состоящая из час­тей, которые в каком-то смысле подобны целому (Б. Мандельброт; цит. по: Федер Е. Фракталы. М.: Мир, 1991. С. 19).

188 Глава 4. Эволюиионная концепция

4.11. Фрактальная геометрия природы 189

£/Ч

Фракталы — детища «сухой» математики, но они настолько эстетичны, что выставка фракталов, построенных с помощью компью тера, потрясла мир, а книга организаторов выставки, математиков X. О. Пайтгена и П. Рихтера, «Красота фракталов» раскупается как художественный альбом.

Они упорядоченны, но это не упорядоченность монотонного орнамента, повторяющего без изменений один и тот же мотив.

Они геометричны, но это не геометрия идеалиста Платона, искавшего везде отполированные формы правильных многогранников а геометрия реального мира — ветвистого, пористого, шершавого, зазубренного, изъеденного. Не зря человек, давший фракталам имя, математик Бенуа Мандельброт назвал свой главный труд «Фракталь­ная геометрия природы» (1982).

♦♦♦ Облака — не сферы, горы — не конусы, линии берегов — не окружно­сти, и негладка древесная кора, и непрям путь молнии (Б. Манлельброт).

Козьма Прутков писал: «Многие вещи нам непонятны не потому, что наши понятия слабы, а потому, что сии вещи не входят в круг на- ших понятий». Как только Мандельброт открыл понятие фрактала, оказалось, что мы буквально окружены ими. Фрактальны слитки ме- талла и горные породы; фрактальны расположение ветвей, узоры ли- стьев, капиллярная система растений; кровеносная, нервная, лим- фатическая системы в организмах животных; фрактальны речные бассейны, поверхность облаков, линии морских побережий, горный рельеф...

♦ Основное свойство фракталов — самоподобие.

Любой микроскопический фрагмент фрактала в том или ином отношении воспроизводит его глобальную структуру. В простейшем случае часть фрактала представляет собой просто уменьшенный целый фрактал.

Отсюда основной рецепт построения фракталов: возьми простой мотив и повторяй его, постоянно уменьшая размеры. В конце концов получится структура, воспроизводящая этот мотив во всех масштабах, — бесконечная лестница вглубь.

Берем отрезок и среднюю его треть переламываем под углом 60°. Затем повторяем эту операцию с каждой из частей получившейся ломаной — и так до бесконечности. В конечном счете мы получим про­стейший фрактал — триадную кривую, которую в 1904 г. открыла ма­тематик Хельга фон Кох (рис. 4.13).

Рис. 4.13.Кривая Кох

Рис. 4.14. Это не фотография папоротника, а фрактал

Если проявить чуть больше изобретательности и на каждом шаге не только уменьшать основной мотив, но также смещать и повора­чивать его, можно получить более интересные и реалистически вы­глядящие образования, например лист папоротника или даже папо­ротниковые заросли. А можно построить весьма правдоподобный фрактальный рельеф местности и покрыть ее очень симпатичным ле­сом. Большинство текстур местности в современных компьютерных играх представляют собой фракталы.

Идея, бесконечного повторения простой операции используется для порождения еще более изощренных и удивительных структур (рис. 4.14).

Возьмем какое-нибудь число х₀ от 0 до 1 и рассчитаем

х_х = kx_Q(i -х₀).

Затем точно так же по х_х вычислим х₂, по х₂ - х₃ и так далее. Если коэффициент k меньше 3, то последовательность чисел х-_х быстро

190 Глава 4. Эволюционная концепция

4.11. Фрактальная геометрия природы 191

Рис. 4.16.Множество Мандельброта. Серые точки соответствуют таким значениям с, что последовательность чисел zn, стартуя с z0 = 0, убегает на бесконечность

стремится к постоянному значению, в чем несложно убедиться. Если же взять k > 3, последовательность начинает метаться между двумя значениями, затем — четырьмя, восемью и т. д., пока наконец при k > 3,6 ее поведение внешне не станет совершенно беспорядочным. Но «если это и безумие, то в нем есть система», что хорошо видно рис. 4.15, показывающем, какие значения могут принимать числа в зависимости от k. Структура, проявляющаяся на рисунке, - тоже фрактал, но фрактал сложный: подобие его частей целому не сводится к простому изменению масштаба.

Рис. 4.15. Поведение последовательности, генерируемой отображением х_ы = к х-, (1 - х-), при разных к

Самые знаменитые фракталы - множества Жюлиа и Мандель-брота — выращиваются повторением простой формулы z_n+1 = z_n² + где числа г„ и константа с считаются комплексными, т. е. изображаются точками не на числовой прямой, а на плоскости. Если ваша математическая подготовка не включает знакомства с комплексными числами, вы можете возложить расчеты на компьютерную программу Fractal Explorer, а сами любоваться готовыми результатами.

Безмерно множество Мандельброта, и никто не сможет пройти все закоулочки и извивы его берегов. Причину тому можно понять, еще раз взглянув на кривую Кох: на каждом шаге изготовления дли­на ее увеличивается в 4/3 раза. Путешественник по этой кривой об­наружит, что между ее началом и концом укладывается бесконечное число звеньев, общая длина которых также бесконечна. «Берег» множества Мандельброта также имеет бесконечно сложную структуру, которая не сглаживается ни при каком самом сильном увеличении,

Рис. 4.17. Берега множества Мандельброта

Самое удивительное, что таким же свойством обладают реальные берега земных морей. Еще в 1901 г. английский географ Ричардсон обратил внимание, что длина береговой линии существенно зависит от масштаба карты, по которой измеряется. Чем крупномасштабнее карта, которой вы пользуетесь, тем более извилистым предстает бе­рег, и с ростом подробности карты суммарный периметр всех его за­ливчиков и мысков растет бесконечно.

Все нормальные (т. е. гладкие) линии, имеющие начало и конец, имеют и конечную длину. Если же длина кривой, соединяющей две точки, бесконечна, то эта кривая уже не совсем линия. Геометрия фракталов подтверждает: да, и кривая Кох, и берег множества Ман­дельброта, и побережья островов и континентов являются чем-то про­межуточным между линией и лентой. За счет своей бесконечной изви­листости они как бы приобретают дополнительное измерение. И при­рода не упускает шанса воспользоваться лишними измерениями.

Например, давно известно, что частота дыхания у животных об­ратно пропорциональна корню четвертой степени из веса. Это об­стоятельство ставило ученых в тупик: если считать, что объем крове­носной системы пропорционален весу, т. е. третьей степени разме-

192 Глава 4. Эволюционная концепция

4.11. Фрактальная геометрия природы 193

ров тела, то и частота дыхания должна изменяться как корень треть ей степени из веса! Откуда же природа берет четверку?

Группа исследователей из университета Нью-Мексико предложи л а объяснение, основанное на идее о том, что эффективно устроенная кровеносная система должна максимально заполнять объем тел! (рис. 4.18). А для этого она должна быть устроена фрактально, и объем такого фрактала оказывается пропорционален четвертой степени размеров. Четвертой, а не третьей! В своей статье в журнале Science авторы открытия пишут: «Хотя живые существа обитают в трехмерном пространстве, их внутренняя физиология и анатомия устроена так, как если бы они были четырехмерными... Фрактальная геометрия буквально придает жизни дополнительное измерение».

Рис. 4.18. Фрактальная геометрия кровеносной системы

Рис. 4.19. Фрактальные траектории, системы с динамическим хаосом

Фракталы очень тесно связаны с динамическим хаосом (п. 3.4.3) Если динамическая система (например, метеорит в окрестностям двойной звезды или фондовый рынок) начинает вести себя хаотически, то ее траектории превращаются во фракталы: они имеют тонкую структуру в сколь угодно малом масштабе. Подобно береговой линии или кровеносной системе эти фракталы нерегулярны, не подчинены требованию точного самоподобия. Тем не менее один взгляд на них убеждает в их упорядоченности. Такое поведение хаотично, но «хаос» в данном случае означает не отсутствие порядка, а очень сложный и нетривиальный порядок, обладающий чрезвычайно тонкой структурой. Естественно ожидать, что в результате длительного эволюционного процесса должны возникать именно такие сложные формы поведения природных систем (рис. 4.19).

а I

	Подуровни и ряды иерархии	Отдел живой природы	Экоси-стемный
	Биоцено-тический
И 5 s	Экобиоси-стемный •
Иерархия структурных уровней л/ (по Н. Ф. Рейллерсу, с сокращен	Биоси­стемный						Органелла	Клетка
Отдел неживой природы	Геокосми-. ческий
Корпуску-лярно-гео-тический	Элементар­ная частица	Атом	Молекула	Агрегат мо­лекул	Кристалл	Минерал	Геологиче­ская порода
	Уровни	Атомарный	Молекуляр-но-кристал-лический	Первично-ассоциатив­ный
	Надуровни	Элементар­но-систем­ный (ато-марно-молекуляр-ный)	Первично-системный

7 Зак. 1033

Прололжение табл. 4.1

о

Надуровни	Уровни	Подуровни и ряды иерархии
Отдел неживой природы	Отдел живой природы
Корпуску-лярно-гео-тический	Геокосми­ческий	Биоси­стемный	Экобиоси-стемный	Биоцено-тический	Экоси-стемный
	Вторично-ассоциатив­ный	Геоформа­ция		Ткань
Геома		Орган
Система ор­ганов
Организ-менно-груп-повой	Организ-менный			Индивид	Особь
Репродук­тивная группа	Семья
Популяци-онно-груп-повой			Дем (мик­ропопуля­ция)	Популяци-онная пар­целла
Популяция	Экологиче­ская попу­ляция

>

Ш ш

Ш

ш о

С

о I I a

о

I

с

За

Ассоциаци-онный	Ценозный				Трофиче­ский уро­вень	Биоцены
Пищевая цепь	Синузия
Консорци-онный				Трофиче­ская сеть	Популяци-онная кон-сорция
Экологиче­ская пира­мида	Биогеоцено-тическая парцелла
Блоково-экосистем-ный	Биогеоцено-тический					Биоценоз	Биогенбце-ноз
				Биоценоми-ческий тип	Биоком­плекс
Биогеобло-ковый					Региональ­ная биота	Биолокус
Планетар­ный	Геоблоко­вый		Материк				Биоорбис
Материковая плита				Царство
				Биобиом	Биозона

Е

О

?

I ш

I

Quot;О

А 1

196 Глава 4. Эволюционная концепция

Вопросы для самоконтроля 197

S3

О

§

О.

II

5 I

§

о й

>» о ив

Ш S

g Т 2

ill*

s о

a '°

И а

Е