Анализ и прогнозирование временных рядов с сезонной компонентой

Каким бы видом экономической деятельности Вы не занимались, всегда приходится планировать Вашу деятельность на будущий период. Например, ожидаемые объемы продаж, издержки, ставки процента и т.д. Мы всегда используем опыт, накопленный в прошлом, для прогнозировании (предсказания) будущих (ожидаемых) значений какого-либо экономического показателя. При изучении регрессионных моделей мы вариацию зависимой переменной объясняли на основе изучения значений независимых переменных. Можно использовать тот же подход, когда в качестве независимой переменной будет выступать переменная времени. К примеру, мы хотим объяснить колебания объемов продаж только через изменение значений этого показателя во времени, без учета каких-либо других факторов. Если удается выявить определенную тенденцию изменения фактических значений, то её можно использовать для прогнозирования будущих значений данного показателя.

Множество данных, в которых время является независимой переменной, называется временным рядом.

Значения некоторого показателя (например, объемы продаж) изменяются под воздействием целого ряда факторов. Например, если компания предлагает на рынке новый вид продукции высокого качества, то с течением времени объем продаж этой продукции возрастает (Рис.13). По устаревшей продукции объем продаж убывает (Рис.14)

Объем продаж

Время

Рис. 13. Объемы продаж новой продукции пользующейся спросом.

Объем продаж

Время

Рис. 14. Объемы продаж устаревшей продукции.

Общее изменение значений переменной во времени называется трендом и обозначается через Т.

Рассмотрим следующий пример 4.1. В таблице 4.11 представлено количество продукции, проданной компанией FORA LTD в течение последних 13 кварталов.

Таблица 4.11. Количество продукции, проданной в течение последних 13 кварталов

ДАТА	Количество Проданной продукции, тыс. шт.
Январь – март 1996
Апрель – июнь
Июль – сентябрь
Октябрь – декабрь
Январь – март 1997
Апрель – июнь
Июль – сентябрь
Октябрь – декабрь
Январь – март 1998
Апрель – июнь
Июль – сентябрь
Октябрь – декабрь
Январь – март 1999

Построим по данным таблицы график, на оси абсцисс которого отметим временные промежутки, а оси ординат – объемы продаж. Этот график указывает на то, что значения переменных характеризуют не только тренд, они подвержены также и циклическим колебаниям. Если колебания временного ряда повторяются через небольшие промежутки времени, то они называются сезонными колебаниями. График указывает на возможность возрастающего линейного тренда, а так же наличие сезонных колебаний (летом объемы продаж падают, зимой возрастают).

Под сезонной вариацией понимают любую систематическую вариацию, повторяющуюся через относительно небольшие промежутки времени. Например, при изучении недельного товарооборота под “сезоном” понимается один день. Кроме того, графики временных рядов могут содержать еще и циклическую вариацию, связанную, например, с периодичностью кризисов, космических циклов и др. Эту компоненту находят по данным за длительные промежутки времени в 10, 15 или 20 лет. Задача прогнозирования состоит в том, чтобы выделить компоненты временного ряда, характеризующие собственно тренд, сезонную компоненту и циклическую компоненту.

Тренд на рисунке 15 показывает, что в целом объем продаж возрос в среднем примерно с 230 тыс. шт. и 1996 году до 390 тыс. шт. в 1998 году. Из графика так же видно, что сезонная компонента практически не изменилась за три года.

Объем продаж

Рис.15

Мы рассмотрим методы прогнозирования только с учетом сезонной компоненты. Для этого используются модели с аддитивной компонентой и модели с мультипликативной компонентой. Если сезонная вариация постоянна в различных временных периодах, то для анализа временного ряда подходит модель с аддитивной компонентой. Если сезонная вариация не является константой, например, увеличивается с возрастанием значений тренда, то для анализа лучше подходит модель с мультипликативной компонентой, в которой значения сезонной компоненты представляют собой определенную долю трендового значения. Каждой из этих моделей соответствуют различные методы расчета компоненты тренда, использующие сочетание методов скользящего среднего и линейной регрессии.

Следует помнить, что поскольку сезонные колебания характеризуются относительно небольшими временными интервалами, то прогнозирование по моделям с сезонной компонентой – также краткосрочное.

4.3. Анализ модели с аддитивной компонентой:

A = T + S + E

Моделью с аддитивной компонентой называется такая модель, в которой вариация значений переменной во времени наилучшим образом описывается через сложение отдельных компонент. Предположив, что циклическая вариация не учитывается, модель фактических значений переменной А можно представить следующим образом:

Фактическое значение = Трендовое значение + Сезонная вариация + Ошибка,

то есть A = T + S + E

В моделях как с аддитивной, так и с мультипликативной компонентой общая процедура анализа примерно одинакова:

Шаг 1. Расчет значений сезонной компоненты.

Шаг 2. Вычитание сезонной компоненты из фактических значений. Этот шаг называется десезонализацией данных. Расчет тренда на основе полученных десезонализированных данных.

Шаг 3. Расчет ошибок как разности между фактическими и трендовыми значениями.

Шаг 4. Расчет среднего линейного отклонения или среднеквадратической ошибки для обоснования соответствия модели исходным данным или для выбора из множества моделей наилучшей.