Экспоненциальная функция:

В данным случае для линеаризации лучше использовать натуральные логарифмы:

.

Снова имеем линейное уравнение.

Расчет по данным нашего примера даст следующие результаты (при условии, что ):

b = -0,089; lna = 6,116; S_yx = 2,7573.

При таких параметрах уравнение получит следующий вид:

.

Найдем a:

a = e^6,116 = 453,0489.

b = -0,089. Данная величина является среднегодовым коэффициентом прироста. В нашем примере его величина указывает на то, что среднегодовая численность ППП в Ростовской области снижалась на 8,9 % в среднем за год.

Таким образом, искомое уравнение будет иметь такой вид:

.

Судя по величине стандартной ошибки S_yx = 2,7573, экспоненциальная функция лучше, чем линейная, но хуже, чем параболическая описывает динамику ППП в Ростовской области.

Разумеется, решение относительно функциональной формы уравнения тренда принимаются, не только исходя из величины стандартной ощибки уравнения тренда. Необходимо, принимать во внимание цели аналитического выравнивания, оценивать значимость уравнения регрессии в целом, а также его параметров.

Так, в нашем примере наименьшую стандартную ошибку имеет уравнени параболы. Однако его лучше всего использовать для интерполяции (расчета промежуточных значений). Очевидно, что прогноз (экстраполяцию) с помощью уравнения параболы делать нельзя.

Так как наименьшую и примерно одинаковую стандартную ошибку имеют показательная и экспоненциальная функции, для прогнозирования, видимо, лучше использовать одну из них.

Таким образом, мы пришли к тем же выводам, что и в начале анализа данного временного ряда.

Несмотря на все вышеприведенные соображения, необходимо проверять значимость трендового уравнения регрессии. Алгоритм проверки ничем не отличается от проверки значимости любого другого уравненния регрессии.

В качестве критерия проверки статистической гипотезы о значимости уравнения регрессии используется критерий F – Фишера-Снедекора.

Несложно убедиться в том, что в нашем примере на уровне значимости α = 0,05 можно доверять всем уравнениям за исключением уравнения гиперболы.