Перемещения при изгибе. Дифференциальное уравнение изгиба балок. Условие жестокости

А)При изгибе рассматриваются перемещений: прогиб и угол поворота поперечного сечения. Прогибом балки δ называется величина, на которую перемещается центр тяжести поперечного сечения в направлении, перпендикулярном первоначальной оси балки. Углом поворота поперечного сечения q называется угол, на который поворачивается поперечное сечение при деформации балки (рис.6.9).

В дальнейшем будем считать, что прогибы и углы поворота балки малы и , а .

Приближенное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки имеет вид: .

Если балка имеет один участок, то это уравнение можно непосредственно проинтегрировать:

, ,

где - жесткость при изгибе, С и D - константы интегрирования, которые представляют собой прогиб и угол поворота в начале координат и определяются из граничных условий задачи.

Б) Изгиб балки сопровождается искривлением ее оси. При попе­речном изгибе ось балки принимает вид кривой, расположенной в плоскости действия поперечных нагрузок. При этом точки оси по­лучают поперечные перемещения, а поперечные сечения соверша­ют повороты относительно своих нейтральных осей. Углы поворота поперечных сечений принимаются равными углам наклона j, каса­тельной к изогнутой оси балки (рис. 5.23).

Рис. 5.23

Прогибы и углы поворотов в балках являются функциями коор­динаты z и их опре­деление необходимо для расчета жест­кости. Рассмотрим изгиб стержня в од­ной из главных пло­скостей например, в плоскости yz. Как показывает практи­ка, в составе реаль­ных сооружений стержни испытыва­ют весьма малые искривления (y _max/ l = 10^-2 - 10^-3, где y _max - мак­симальный прогиб; l - пролет балки).

В этом случае неизвестными функциями, определяющими по­ложение точек поперечных сечений балки являются y (z) и j (z) = = a (z) (рис.5.23). Совокупность значений этих параметров по дли­не балки образуют две функции от координаты z - функцию пере­мещений y (z) и функцию углов поворота j (z). Из геометрических построений (рис. 5.23) наглядно видно, что угол наклона каса­тельной к оси z и угол поворота поворота поперечных сечений при произвольном z равны между собой. В силу малости углов поворота можно записать:

. (5.17)

Из курса математического анализа известно, что кривизна пло­ской кривой y (z) выражается следующей формулой:.

Если рассмотреть совместно соотношение (5.9) и последнее выражение, то получим нелинейное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки, точное решение которого, как правило, затруднительно. В связи с малостью величины по сравнению с единицей последнее выражение можно существенно упростить, и тогда . (5.18)

Учитывая (5.9), из (5.18) получим следующее важное диф­ференциальное соотношение

, (5.19)

где I_x - момент инерции поперечного сечния балки, относительно ее нейтральной оси; Е - модуль упругости материала; E I_x - изгиб­ная жесткость балки.

Уравнение (5.19), строго говоря, справедливо для случая чис­того изгиба балки, т.е. когда изгибающий момент M_x (z) имеет по­стоянное значение, а поперечная сила равна нулю. Однако это уравнение используется и в случае поперечного изгиба, что равно­сильно пренебрежению искривлений поперечных сечений за счет сдвигов, на основании гипотезы плоских сечений.

Введем еще одно упрощение, связанное с углом поворота попе­речного сечения. Если изогнутая ось балки является достаточно по­логой кривой, то углы поворота сечений с высокой степенью точ­ности можно принимать равными первой производной от прогибов. Отсюда следует, что прогиб балки принимает экстремальные значе­ния в тех сечениях, где поворот равен нулю.

В общем случае, для того, чтобы найти функции прогибов y (z) и углов поворота j (z), необходимо решить уравнение (5.19), с уче­том граничных условий между смежными участками.

Для балки, имеющей несколько участков, определение формы упругой линии является достаточно сложной задачей. Уравнение (5.19), записанное для каждого участка, после интегрирования, со­держит две произвольные постоянные.

На границах соседних участков прогибы и углы поворота являются непрерывными функциями. Данное обстоятельство позволяет определить необходимое число граничных условий для вычисления произвольных постоянных интегрирования.

Если балка имеет n - конечное число участков, из 2 n числа граничных условий получим 2 n алгебраических уравнений относительно 2 n постоянных ин­тегрирования.

Если момент и жесткость являются непрерывными по всей длине балки функциями M_x (z) и E I_x (z), то решение может быть получено, как результат последовательного интегрирования урав­нения (5.19) по всей длине балки:

интегрируя один раз, получаем закон изменения углов поворота

,интегрируя еще раз, получаем функцию прогибов

. Здесь C ₁ и С ₂ произвольные постоянные интегрирования долж­ны быть определены

С)оценка прочности конструкции, которая сводится к сравнению расчетных напряжений с допускаемыми:

Это и есть основные условия прочности.

ограничения накладываются не на напряжения, а на изменение формы стержня (вала, балки), т.е. деформации. Для разных видов нагружения условия жесткости имеютвид: при растяжении (сжатии)

при кручении

где - угол закручивания,

при изгибе

где - угол поворота, у - прогиб.