ЛЕКЦИЯ №3. Решение пространственных задач на комплексном чертеже значительно упрощается, если интересующие нас элементы пространства занимают частное положении

Тема: Cпособы преобразования эпюра

Решение пространственных задач на комплексном чертеже значительно упрощается, если интересующие нас элементы пространства занимают частное положении, то есть располагаются параллельно или перпендикулярно плоскостям проекций. Полученные при этом «вырожденные» проекции помогают решать задачи или упростить ход их решения. Чтобы добиться такого удобного расположения элементов, комплексный чертеж преобразуют. Преобразованный чертеж отображает изменение положения геометрических образов или плоскостей проекций в пространстве. В основном используются два способа преобразования чертежа: способ замены плоскостей проекций и способ вращения.

Так как частных положений у прямой и плоскости два варианта, то существует четыре исходные задачи для преобразования комплексного чертежа:

1. Прямую общего положения необходимо преобразовать в прямую уровня;

2. Прямую уровня преобразовать в проецирующую прямую;

3. Плоскость общего положения преобразовать в проецирующую плоскостью;

4. Проецирующую плоскость преобразовать в плоскость уровня.

Способ замены плоскостей проекций

В этом способе пространственное положение изучаемых элементов остается неизменным, а меняется система плоскостей проекций, на которых вычерчиваются новые изображения. Новые плоскости вводятся так, чтобы изучаемые элементы оказывались в удобном положении.

Рассмотрим решение четырех исходных задач способом замены плоскостей проекций. Для начала необходимо преобразовать чертеж прямой общего положения так, чтобы относительно новой плоскости прямая общего положения заняла положение прямой уровня.

Новую проекцию прямой, отвечающей поставленной задаче, можно построить на новой плоскости проекций П4, расположив ее параллельно самой прямой и перпендикулярно одной из основных плоскостей, то есть от системы плоскостей П1⊥П2 перейти к системе П4⊥П1 или П4⊥П2. На чертеже новая ось проекций должна быть параллельна одной из основных проекций прямой. Последовательность построений показана на рисунках 18 и19. Новые линии связи строятся перпендикулярно новой оси. Углы α и ß (углы наклона прямой к плоскостям П1 и П2) определяются между новой осью и прямой уровня (новой прямой).

Новая проекция прямой дает истинную величину прямой АВ.

Рис. 18. Последовательность построения Рис. 19. Последовательность

натуральной величины (НВ) прямой на плоскости П1 построения (НВ) на П2

Перевод прямой уровня в проецирующее положение относительно новой плоскости П4 показан на рисунке 20, а прямой общего положения в проецирующее - на рисунке 21.

Рис.20. Перевод прямой уровня в Рис.21. Перевод прямой общего положения в проецирующее положение проецирующее

В обоих случаях на плоскости П4П5 соответственно получаем изображение прямой в виде точки.

Перевод плоскости общего положения в проецирующее положение показан на рис. 22. Все линии уровня плоскости А1В1С1 (проекции) будут линиями уровня и при ортогональном проецировании в точку – «вырождаться», а плоскость при этом - в прямую С4В4, Точка А4 с h4.

Рис.22. Перевод плоскости общего положения в проецирующее

Преобразовать чертеж проецирующей плоскости в плоскость уровня можно также заменой плоскости проекции. Построение демонстрируется на рис.23. Новая проекция плоскости АВС в системе П1/П4 дает проекцию А4В4С4. Причем эта проекция равна по площади истинной площади плоскости АВС.

Рис. 23. Преобразование проецирующей плоскости в плоскость уровня

Рис.24. Построение плоскости уровня для плоскости общего положения

Построить плоскость уровня для плоскости общего положения можно проведя двойную замену плоскостей: первая замена – в проецирующую плоскость, вторая – в плоскость уровня, что дает натуральную площадь плоскости. Построение показано на рис.24. Ось П1/П4 и ось П4/П5 помогает перевести плоскость DEF из общего положения в положение проецирующее D4E4F4 и затем в положение уровня D5E5F5. Проекция D5E5F5 конгруэнтна самому треугольнику DEF.

Способ вращения заключается в том, что при неизменном положении плоскостей проекций изменяется положение изучаемого тела до тех пор, пока их проекции не займут частное положение в исходной системе плоскостей. В качестве осей вращения удобнее всего брать проецирующие

Рис.25 прямые или прямые уровня, тогда точки будут вращаться в

плоскостях, параллельных или перпендикулярных плоскостям проекций.

При вращении вокруг горизонтально проецирующей прямой L, горизонтальная проекция перемещается по окружности, ее фронтальная – по прямой, перпендикулярной фронтальной оси.

На рис. 25 показано вращение тела (точки А) вокруг оси j горизонтально проецирующей.

На рис. 26 показано вращение тела (отрезка) вокруг такой же оси j. В том и другом случае мы видим указанные выше окружности и прямые.

Рис.26

На рисунке 27 показано плоскопараллельное перемещение треугольника во фронтально проецирующее положение с помощью горизонтали h. При этом ΔА1В1С1=Δ¯А1¯В1¯С1, а плоскости вращения В и С параллельны плоскости П1, в которой вращалась горизонталь h1. Вторым перемещением переводим ΔАВС в положение параллельное П1. Вырожденная проекция треугольника осталась без изменений. А истинная плошадь треугольника получается в ходе построения новых горизонтальных проекций вершин АВС.

Рис.27. Построение натуральной величины / истинной площади плоскости ΔАВС.

Вопросы к лекции:

1. Почему необходимо преобразовывать чертеж?

2. Какие известны способы преобразования чертежа?

3. Какие основные задачи решаются путем преобразования чертежа?

4. Как нужно расположить новые плоскости, чтобы отрезок прямой общего положения спроецировался в натуральную величину? В точку?

5. В чем сущность преобразования чертежа способом вращения?

6. Какие линии используются в качестве осей вращения?

7. Как изменится фронтальная проекция предмета при вращении его вокруг фронтально проецирующей прямой?