Введение. Выше было сказано, что проекция точки на не определяет положение ее в пространстве

Выше было сказано, что проекция точки на не определяет положение ее в пространстве. Необходимы дополнительные условия. Например, дана прямоугольная (ортогональная) проекция точки на горизонтальной плоскости проекций и указана числовой отметкой удаление этой точки от плоскости. В этом случае, принимая плоскость проекций за плоскость нулевого уровня и отрицательной в случае, если точка ниже (удаленнее / правее) этой плоскости. Далее мы должны научиться определять положение изучаемых объектов (точек, прямых, плоскостей) в пространстве по их прямоугольным проекциям на две и более плоскостей. На рис. 5 изображены две перпендикулярные плоскости проекций. Одна - П1 расположена горизонтально (горизонтальная плоскость), другая – П2 расположена вертикально (фронтальная плоскость). Таким образом Плоскости П1 и П2 образуют систему плоскостей.

Линия пересечения плоскостей - ось проекций. Оси проекций разделяют каждую из плоскостей П1 и П2 на полуплоскости. На рисунке также показано построение точки А в системе П1,П2. Горизонтальная проекция – А1, фронтальная – А2..

Рис. 5. Система плоскостей

Две проекции точки определяют ее положение в пространстве относительно системы плоскостей проекций П1,П2. Повернув П1 на 90° получим одну плоскость – плоскость чертежа. Где А1 и А2 расположены на одном перпендикуляре к оси проекций (рис.6) – на линии связи. В результате мы получим чертеж под названием – эпюр (эпюр Монжа). Переход к эпюру приводит к потере пространственной картинки, но обеспечивает точность и удобоизмерительность изображений. Для работы с эпюром требуется пространственное воображение.

Далее мы под эпюром Монжа будем понимать и называть ЧЕРТЕЖ.

Рис.6. Эпюр Монжа

Точка в трех проекциях

Может возникнуть необходимость в построении еще одного изображения точки на третьей – профильной плоскости. П3. Эта плоскость располагается перпендикулярно одновременно горизонтальной П1 и фронтальной П2 плоскостям. Линия пересечения плоскостей П2 и П3 новая ось проекций, которая располагается на эпюре (рис.7) параллельно линиям связи А1А2. Третья проекция точки А, точка А3 -профильная связана с фронтальной проекцией новой линией связи А2А3. Таким образом, на комплексном чертеже, состоящим из трех ортогональных проекций точки, две проекции находятся на одной линии связи. Линии связи перпендикулярны соответствующим осям проекций: ось Х - абсцисс, ось Y - ординат, ось Z - аппликат.

Рис.7. Комплексный чертеж точки А

Две проекции точки вполне определяют положение ее третьей проекции. Если в трехмерной системе координат центр системы совместить с началом координат – нулевой точкой, а осевые линии продлить в обратном (отрицательном) направлении, то появится восемь трехгранных углов - восемь ОКТАНТОВ (Рис.8). Нумерация октантов сохраняется как нумерация четвертей. Применяя для отсчета координат точки систему знаков указанную на рис.8, получим следующую таблицу.

Таблица 1.

Знаки координат для различных октантов

Октант	Знаки координат
Х	Y	Z
I	+	+	+
II	+	-	+
III	+	-	-
IV	+	+	-
V	-	+	+
VI	-	-	+
VII	-	-	-
VIII	-	+	-

Рис. 8. Изображение октантов

Если точка задана координатами А(х,y,z), то можно построить ее комплексный чертеж, задав соответствующую единицу длины. Абсцисса точки определяет положение вертикальной линии связи. Горизонтальная проекция точки определяется величиной ординаты, а фронтальная – величиной аппликаты.

Проекции отрезка прямой линии

Предположим, что даны фронтальная и горизонтальная проекции точек А и В. Соединив точки, получим проекции прямой АВ. Точки А и В находятся на разных расстояниях от плоскостей П1,П2,П3, То есть прямая АВ не параллельна ни одной из них. Такая прямая называется – ПРЯМОЙ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ. Каждая из проекций меньше самого отрезка. Если обозначить углы между прямой АВ и плоскостями П1,П2,П3 соответственно через ﻻ 1, ﻻ 2 иﻻ 3 получим А1В1 = АВ cos ﻻ 1; А2В2=АВ cos ﻻ 2; А3В3=cos ﻻ 3.

Рис.9. Прямая общего положения

Прямая линия может занимать относительно плоскостей проекций ЧАСТНОЕ положение. Прямая может быть параллельна одной плоскости проекций и двум плоскостям проекций. В первом случае длина прямой равна ее истинному размеру, такие прямые называются Прямыми УРОВНЯ. Во втором случае две проекции имеют истинный размер прямой, такие прямые называются ПРОЕЦИРУЮЩИМИ.

Прямая параллельная плоскости П1. В этом случае горизонтальная проекция прямой параллельна оси проекций, а фронтальная проекция отрезка прямой равна ее истинному размеру А1В1=АВ и такая прямая называется – ГОРИЗОНТАЛЬЮ (рис.10).

Рис.10. Горизонтальная линия уровня (Горизонталь)

Прямая параллельная плоскости П2. В этом случае ее горизонтальная проекция параллельна оси проекций и фронтальная проекция отрезка этой прямой равна самому отрезку С2D2=CD. Такая прямая называется ФРОНТАЛЬЮ (Рис.11).

Рис. 11. Фронтальная линия уровня

(Фронталь)

прямая параллельная П3. В этом случае горизонтальная и фронтальная проекции располагаются на одном перпендикуляре к оси ОХ и профильная проекция прямой равна самому отрезку. Такая прямая называется - ПРОФИЛЬНОЙ.

Рис.12. Профильная линия уровня

Если отрезок принадлежит прямой общего положения, то ни на одной плоскости проекций нет истинной длины отрезка. Определить ее можно способом прямоугольного треугольника, в котором один катет одна проекция, другой катет – превышение одной точки над другой второй проекции.

Если прямая расположена параллельно к двум плоскостям проекций и перпендикулярно одной из них, то есть проецируется на эту плоскость в точку, то такая прямая называется проецирующей и берет свое название от плоскости которой она перпендикулярна. Горизонтально-проецирующая прямая (рис.13). Фронтально-проецирующая прямая (рис.14). Профильно-проецирующая прямая (рис.15).

Рис.13. Горизонтально-проецирующая прямая

Рис.14. Фронтально-проецирующая прямая

Рис.15. Профильно-проецирующая прямая

Проекции плоскости на чертеже

Задать плоскость на чертеже можно:

1.Тремя точками, не лежащими на одной прямой;

2. Точкой и прямой;

3. Двумя параллельными прямыми;

4. Двумя пересекающимися прямыми;

5. Любой плоской фигурой.

Относительно плоскостей проекций плоскость может занимать различные положения. Плоскость, не перпендикулярная ни одной из основных плоскостей проекций называется плоскостью ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ. Плоскости, перпендикулярные или параллельные основным плоскостям проекций, называются плоскостями ЧАСТНОГО ПОЛОЖЕНИЯ. Плоскость, перпендикулярная одной из плоскостей проекций, называется ПРОЕЦИРУЮЩЕЙ. У проецирующей плоскости на эпюре одна проекция есть прямая линия, на которой располагаются проекции всех точек, линий и фигур, лежащих в этой плоскости. Эта плоскость называется ВЫРОЖДЕННОЙ. Плоскость, параллельная одной из плоскостей проекций, называется плоскостью УРОВНЯ. В любой плоскости можно построить линии, параллельные плоскостям проекций, их называют линиями уровня плоскости (Рис.16, 17).

Рис.16. Рис.17.

Горизонталь плоскости - линия // П1. Фронталь плоскости – линия // П2.

Вопросы к лекции:

1. Как называется и обозначается основная плоскость проекций?
2. Что такое вертикальная и горизонтальная линия связи?
3. Как построить комплексный чертеж точки по ее координатам?
4. Чем определяется проекция прямой линии?
5. Как построить профильную проекцию линии по заданным проекциям горизонтальной и фронтальной?
6. Какое положение может занять прямая относительно плоскостей проекций?
7. Какими элементами можно задать плоскость?
8. Какими элементами может быть задана плоскость на чертеже?
9. Как относительно плоскостей проекций может располагаться заданная плоскость?
10. Что характерно для комплексного чертежа проецирующей плоскости?
11. Можно ли провести проецирующую плоскость через прямую общего положения?