Построение линии пересечения поверхностей способом секущих плоскостей

На рисунке 6.10 построена линия пересечения двух поверхностей вращения – тора и конуса.

Рисунок 6.10

Для построения точек этой линии могут быть выбраны только вспомогательные горизонтальные плоскости, расположенные перпендикулярно к осям поверхностей, так как они пересекают их по окружностям.

Характерные точки 1 и 2, расположенные на очерковых линиях фронтального изображения, находятся в плоскости a общей симметрии данных поверхностей. Эта плоскость является фронтальной, поэтому точки 1 и 2 очевидны.

Точки 3 и 4 на экваторе тора найдены с помощью плоскости w₁, которая пересекает тор по экватору k, а коническую поверхность – по окружности m ₁. Горизонтальные проекции линий k и m ₁ пересекаются в точках 3¢ и 4¢. Они, очевидно, расположены на линии, перпендикулярной к плоскости a. Поэтому фронтальные проекции точек 3 и 4 совпадают.

Промежуточные точки 5 и 6 найдены с помощью второй горизонтальной плоскости w₂. Фронтальные проекции точек 5 и 6 также совпадают.

Не вся построенная кривая видна на фронтальной проекции: половина ее находится на задней стороне данных поверхностей. Но невидимая ее часть закрывается видимой. На горизонтальной проекции видна часть 3-1-4 кривой, расположенная выше экватора тора (видимость меняется в точках 3 и 4, лежащих на экваторе).

Особый случай построения линии пересечения двух поверхностей

Линия пересечения кривых поверхностей в общем случае представляет кривую пространственную (точки которой не лежат в одной плоскости), но в некоторых частных случаях эти линии могут оказаться кривыми плоскими.

Это имеет место тогда, когда пересекающиеся поверхности являются поверхностями вращения второго порядка с пересекающимися осями и к тому же описаны вокруг общей для них сферической поверхности, имеющий центр в точке пересечения их осей.

На рисунке 6.11 – 6.13 показаны такие случаи пересечения поверхностей вращения: двух цилиндров, цилиндра с конусом, двух конусов.

Во всех этих случаях каждая пара поверхностей пересекается по двум эллипсам.

Рисунок 6.11

Рисунок 6.12

Риcунок 6.13