Выполнение арифметических операций в позиционных системах счисления

Рассмотрим на примерах следующие арифметические операции: сложение, вычитание, умножение. Для каждой операции в первом примере будет рассматриваться 10-ичная система счисления.

Операция «сложение»

Пример 1. Сложить число 6587381₁₀ с числом 5461716₁₀ (Рис. 9.4.1.).

Номер строки таблицы	Пояснения	Номер разряда
	Обозначение кода числа А	a7	a6	a5	a4	a3	a2	a1	a0
	Обозначение кода числа B	b7	b6	b5	b4	b3	b2	b1	b0
	Код числа А
	Код числа B
	Поразрядные суммы цифр каждого слагаемого Si =(ai+bi)
	Результат уменьшения поразрядных сумм Si>=p, которые равны или больше основания системы [(ai+bi)-p]
	Первичный перенос из предыдущего разряда в последующий
	Поразрядные суммы цифр с учётом первичного переноса
	Результат уменьшения поразрядных сумм, полученных с учётом первичных переносов
	Вторичный перенос из предыдущего разряда в последующий (при добавлении первичного переноса)
	Результат операции «сложение» ri

Рис. 9.4.1.

Операция «сложение» реализуется в несколько этапов.

1 этап. Определяются поразрядные суммы - суммируются цифры в каждом разряде: S_i = a_i+b_i (строка 5).

2 этап. В тех разрядах, в которых поразрядная сумма S_i оказывается не цифрой, а числом, т.е. S_i=a_i+b_i >= p, цифра результата определяется вычитанием основания системы: r_i=a_i+b_i – p (строка 6). Одновременно возникшая 1 переноса П_i «переходит» в последующий разряд i+1 (строка 7).

3 этап. Единицы переноса суммируются с поразрядными суммами П_i+S_i+1 (строка 8).

4 этап. Этот этап аналогичен 2-му этапу. Если П_i+S_i+1 >=p, то происходит вычитание основания системы: П_i+S_i+1– p (строка 9). Одновременно возникшая 1 переноса П_i+1 «переходит» в последующий разряд i+2 (строка 10).

Мы привыкли к 10-ичной системе счисления и выполняем в ней операции, «не задумываясь». Удобство 10-ичной системы счисления состоит не только в том, что мы работаем в ней с детства. Если разрядная сумма больше или равна 10₁₀, то в качестве цифры результата мы используем младшую цифру разрядной суммы, не проводя вычитание. Посмотрите на таблицу (Рис. 9.4.2.).

Цифра первого слагаемого	ai
Цифра второго слагаемого	bi
Первичная поразрядная сумма	Si=ai+ bi >=10	1 0	1 1	1 2	1 3	1 4	1 5	1 6	1 7	1 8
Цифра результата		0	1	2	3	4	5	6	7	8

Рис. 9.4.2.

В первых двух строках значения цифр взяты для примера. Вместо, 7+5=12 можно рассматривать 8+4=9+3=6+6=12. Подчёркнутые цифры подтверждают вышеприведённое утверждение.

Операция «сложение» над кодами чисел в других системах счисления выполняется аналогичным образом. Однако есть особенность. Рассматривая нижеприведённые примеры, обратите внимание на эту особенность. В какой бы системе счисления (кроме десятичной) мы ни проводили операцию «сложение», суммирование мы проводим в десятичной системе счисления. Но сравнивать каждую поразрядную сумму мы должны с конкретным основанием системы счисления. Мы не можем в качестве цифры результата использовать младшую цифру суммы, а должны проводить вычитание, используя представление этого основания в десятичной системе счисления.

Чтобы выполнить любую операцию, необходимо представить процесс её выполнения в виде последовательности действий. Последовательность действий запишем на формальном языке PDL (Program Design Language) – языке проектирования программ. В дальнейшем мы будем более подробно рассматривать этот язык. Однако он достаточно простой, и запись действий на этом языке должна быть понятной, тем более, что к каждому оператору языка (действию) даётся комментарий.

Необходимо провести операцию «сложение» над двумя числами: A=a_na_n-1a_n-2… a₂a₁a₀ и B= b_nb_n-1b_n-2… b₂b₁b₀ в системе счисления с основанием р и получить сумму С= c_n+1c_nc_n-1c_n-2… c₂c₁c₀ (Рис. 9.4.3.).

Получите результаты представленных ниже примеров на операцию «сложение», читая и выполняя каждое действие в указанной таблице.

Номер оператора	Текст оператора	Комментарий
	Ввести значение n	Задать значение количества разрядов, которыми представлены 2 слагаемых.
	П=0	Установить начальное значение переноса из разряда в разряд
	For i=0 to n	Оператор цикла, который устанавливает количество повторений тех действий (операторов), которые записаны между этим оператором и оператором Next. В данном случае переменная i обозначает текущее значение номера разряда от 0 до n (смотри коды чисел)
	Si=ai+bi+П;	Определение разрядной суммы
	If Si>=p Then	Условный оператор, когда выполняются различные действия в зависимости от результата проверки условия. Если разрядная сумма равна или больше р, то
	ci=Si-p; П=1;	определяется разрядная сумма и переменной «Перенос» присваивается значение «1».
	If i=n Then	Если сумма цифр в старшем разряде равна или больше р,
	ci+1= 1	то должна появиться 1 в следующем разряде
	Endif
	else	Иначе (разрядная сумма меньше р), разрядная сумма определяется иным способом, и переменной «Перенос» присваивается значение «0».
	ci=Si; П=0;
	Endif	Оператор конца условного оператора, который показывает, что все действия условного оператора записаны.
	Next	Оператор конца цикла, который показывает, что все повторяющиеся действия оператора цикла For записаны.
	Print C	Печатать значение суммы двух чисел

Рис. 9.4.3.

Пример 2. Сложить 2 числа 262,5₁₀ и 38,75₁₀ в 10-ичной системе счисления (Рис. 9.4.4.).

Записи типа «5+7=12=10+2» в схеме примера имеют следующий смысл. Если при суммировании двух цифр получено число S_i >=p, то S_i= p+r_i и П=1, где r –цифра разрядного результата.

Рис. 9.4.4.

Пример 3. Сложить 2 числа 10000110,1₂ и 100110,11₂ в 2-ичной системе счисления (Рис. 9.4.5.).

Рис. 9.4.5.

Пример 4. Сложить 2 числа 406,4₈ и 46,6₈ в 8-ичной системе счисления (Рис. 9.4.6.).

Рис. 9.4.6.

Пример 5. Сложить 2 числа 106,8₁₆ и 26,12₁₆ в 16-ичной системе счисления (Рис. 9.4.7.).

Рис. 9.4.7.

Операция «вычитание»

Пример 1. Из числа 6587381₁₀ вычесть число 5467916₁₀ (Рис. 9.4.8.).

Номер строки таблицы	Пояснения	Номер разряда
	Обозначение кода числа А	a7	a6	a5	a4	a3	a2	a1	a0
	Обозначение кода числа B	b7	b6	b5	b4	b3	b2	b1	b0
	Код числа А (уменьшаемое)
	Код числа B (вычитаемое)
	Изменённое уменьшаемое из-за заёма для разряда «0»							7	11
	Код числа B (вычитаемое)
	Изменённое уменьшаемое из-за заёма для разряда «2»					6	13
	Код числа B (вычитаемое)
	Изменённое уменьшаемое из-за заёма для разряда «3»				7	16
	Код числа B (вычитаемое)
	Результат операции «вычитание» ri

Рис. 9.4.8.

Операция «вычитание» выполняется для каждого разряда, начиная с младшего. Эта операция является обратной операции «сложение».

Разрядное вычитание a_i-b_i возможно проводить, если a_i >=b_i. В противном случае необходимо выполнить «заём» - уменьшить цифру последующего разряда на 1, а к цифре текущего разряда добавить основание системы счисления. Такой заём выполнен в строке 5 для младшего разряда (изменённые цифры разрядов «0» и «1» подчёркнуты).

Аналогичная ситуация (уменьшаемое меньше вычитаемого) существует и для разряда «2» (строка 5). В строке 7 представлены изменённые цифры разрядов «2» и «3».

После заёма в разряде «3» цифра уменьшаемого стала меньше цифры вычитаемого, поэтому необходимо выполнить заём для этого разряда. В строке 9 представлены изменённые цифры разрядов «3» и «4». Теперь все цифры уменьшаемого (строка 9) больше цифр вычитаемого (строка8), и можно проводить поразрядное вычитание для получения результата (строка11).

Реально поразрядное вычитание проводится последовательно, начиная с младшего разряда. При необходимости сразу же выполняется заём. В примере поразрядное вычитание проводится в строках 9, 10, 11 исключительно для сокращения строк в таблице.

Пример 2. Из числа 110101,01₂ вычесть число 11010,1₂ (Рис. 9.4.9.).

Рис. 9.4.9.

Цифры в строках имеют следующий смысл. Первая цифра – цифра уменьшаемого. Вторая цифра «-1» - учёт заёма, который выполнялся для предыдущего разряда. Цифра «+2» - увеличение цифры текущего разряда за счёт заёма из последующего разряда. Последняя цифра – цифра вычитаемого.

В дальнейших примерах последовательность цифр в строках будет иметь этот же смысл.

Пример 3. Из числа 421,3₈ вычесть число 265,7₈ (Рис. 9.4.10.).

Рассмотрим для этого примера смысл элементов в строке 3 в соответствии с пояснениями к примеру 2.

«2» - цифра уменьшаемого;

«-1» - уменьшение цифры данного разряда за счёт того, что из данного разряда выполнялся заём для разряда «0»;

«+8» - увеличение цифры данного разряда, т.к. вычитаемое больше уменьшаемого;

«-6» - цифра вычитаемого.

Рис. 9.4.10.

Пример 4. Из числа 6А32,54₁₆ вычесть число 53Е1,62₁₆ (Рис. 9.4.11.).

Рис. 9.4.11.

Операция «умножение»

Пример 1. Перемножить число 263₁₀ на число 8₁₀ (Рис. 9.4.12.).

В отличие от операции «сложение» при умножении перенос может быть в пределах 1-8. Максимальное значение переноса (П=8) возникает при умножении 9*9=81. Формально для 10-ичной системы цифра разрядного результата равна младшей цифре произведения. По существу, для системы счисления с любым основанием р цифра в разряде результата равна остатку от деления произведения двух цифр сомножителей на основание системы счисления: r_i=a_i*b_i-([a_i*b_i/p]*p). В квадратных скобках представлена целая часть деления.

Номер строки таблицы	Пояснения	Номер разряда
	Обозначение кода числа А	а3	a2	a1	a0
	Обозначение кода числа B	b3	b2	b1	b0
	Код числа А
	Код числа В
	Поразрядные произведения
	Первичный результат
	Перенос первичный
	Вторичный результат: сумма первичного результата с первичным переносом
	Вторичный перенос
	Результат: сумма вторичного результата со вторичным переносом

Рис. 9.4.12.

Пример 2. Перемножить число 1011₂ на число 101₂ (Рис. 9.4.13.).

Число А
Число B
Результат поразрядного умножения b0 на число А
Результат поразрядного умножения b2 на число А
Результат

Рис. 9.4.13.

При выполнении операции «умножение» в 2-ичной системе счисления перенос возникает только при суммировании поразрядных результатов.

Пример 3. Перемножить число 7613₈ на число 46₈ (Рис. 9.4.14.).

Номер строки таблицы	Пояснения	Номер разряда
	Обозначение кода числа А			а3	a2	a1	a0
	Обозначение кода числа B			b3	b2	b1	b0
	Код числа А
	Код числа В
	6*7+4=46=5*8+6; 6*6+1=37=4*8+5; 6*1+2=8=1*8+0; 6*3=18=2*8+2
	4*7+3=31=3*8+7; 4*6=24=3*8+0; 4*1+1=5; 4*3=12=1*8+4
	Результат

Рис. 9.4.14.

Рассмотрим пояснения в строках 5 и 6 таблицы. Все операции выполняются в привычной для нас 10-ичной системе счисления. Остаток от деления произведения цифр разряда на основание системы вычисляется также в 10-ичной системе счисления. Перенос в последующем разряде суммируется с произведением двух цифр. Только после этого суммирования определяется цифра результата в разряде.

Пример 4. Перемножить число 7A5E₁₆ на число B6₁₆ (Рис. 9.4.15.).

Номер строки таблицы	Пояснения	Номер разряда
	Обозначение кода числа А			а3	a2	a1	a0
	Обозначение кода числа B			b3	b2	b1	b0
					A		E
						B
	6*7+3=45=2*16+13=2*16+D; 6*A+2=62=3*16+14=2*16+E; 6*5+5=35=2*16+3; 6*14=84=5*16+4
	11*7+7=84=5*16+4; 11+10+4=114=7*16+2; 11*5+9=64=4*16+0; 11*14=154=9*16+10=9*16+A
	Результат			F	E	D

Рис. 9.4.15.