7 страница. 6. Паралельні проекції деяких плоских фігур.

5. Площі поверхонь та об’єми геометричних тіл.

Назва	Зображення	Площа поверхні	Об’єм
Призма		Sбічної=P l   P- периметр l- висота бічної грані	V=Sоснови H   Н- висота призми
Піраміда		Sбічної= P hбічної Р – периметр основи	V= Sоснови H
Зрізана піраміда		Sбіч= (P1+Р2) hбіч Р1, Р2 – периметри основ	V= (S1+ +S2) H S1,S2 – площі основ
Циліндр		Sбічн=2πRH	V=πR2 H
Конус		Sбічн=πRL L - твірна	V= πR2 H
Зрізаний конус		Sбічн=π(R+r)L	V= π(R2+Rr+r2) H
Сфера, куля		S=4πR2	V= πR3
Кульовий сектор		----	V= πR2 H
Кульовий сегмент		S=2πRH	V= πH2 (3R-H)

6. Паралельні проекції деяких плоских фігур.

	проекція – трикутн ик будь – якої форми
	проекція –паралелограм будь – якої форми
	проекція – трапеція будь – якої форми
	проекція кола - еліпс

7.

7.Приклади для розв’язування

1. Площини і паралельні. У площині вибрано точки M і N, а у площині точки M₁ і N₁ так, що прямі MM₁ і NN₁ паралельні. Знайти довжини відрізків NN₁ і M₁N₁, якщо MN=5см, MM₁=6см.

2. Через точку С, що не належить двом паралельним площинам і , проведено два промені, які перетинають площину в точках А₁ і А₂, а площину в точках В₁ і В₂. Відомо, що СА₁=4см, В₁В₂=9см, А₁А₂=СВ₁. Знайти А₁А₂ і А₁В₁.

3. Відрізки двох прямих, розміщені між двома паралельними площинами дорівнюють 51см і 53см, а їх проекції на одну з цих площин відносяться як 6: 7. Визначити відстань між даними площинами.

4. Відстань між двома паралельними площинами дорівнює 8 дм. Відрізок довжиною 10 дм своїми кінцями спирається в ці площини. Знайти проекції відрізка на кожну площину.

5. Сторона АВ трикутника АВС лежить у площині . Площина паралельна площині і перетинає сторони АС і ВС в точках А₁ і В₁ відповідно. Знайти довжину відрізка А₁В₁, якщо АВ=12см, СВ₁: В₁В=2: 3.

8.. Відстань від точки М до всіх вершин квадрата дорівнює 5 см. Знайдіть відстань від точки М до площини квадрата, якщо діагональ квадрата дорівнює 6 см.

9. Точка О – центр квадрата ABCD. МО – пряма, що перпендикулярна до площини квадрата; МО= см. Знайдіть відстань від точки М до вершин квадрата.

10. Точка О – центр квадрата ABCD. ОМ – перпендикуляр до площини ABCD, АВ=8 см. Пряма МА нахилена до площини квадрата під кутом 60º. Знайдіть відстань між точками М і В.

11. Із точки М до площини проведено перпендикуляр і похилу, кут між якими 60º. Знайдіть довжину похилої, якщо довжина перпендикуляра 20 см.

12. Точка O – центр правильного трикутника АВС. ОМ – перпендикуляр до площини АВС і ОМ= см. АВ= см. Знайдіть кут нахилу МА до площини трикутника АВС.

13. ABCD – прямокутник, МА – перпендикуляр до площини прямокутника, МСА=60º, DC=3 см, СВ=4 см. Знайдіть площу трикутника МВС.

15. Із даної точки до площини проведено дві похилі, різниця довжин яких дорівнює 6 см. Їх проекції на цю площину дорівнюють 27 та 15 см. Знайдіть відстань від даної точки до площини.

16. Із точки А, взятої поза площиною , проведено до неї рівні похилі АВ і АС. Відстань ВС між основами похилих дорівнює 10 см. Кут між ВС і АВ дорівнює 60º, кут між ВС і проекцією похилої АВ на площину - 30º. Знайдіть відстань від точки А до площини .

17. Із точки до площини проведено дві похилі. Довжина першої похилої дорівнює 13 см, а довжина її проекції – 5 см. Кут між проекціями похилих дорівнює 120º, а довжина відрізка, що сполучає основи похилих – 19 см. Знайдіть довжину другої похилої.

18. Основа і висота рівнобедреного трикутника дорівнюють 4 см. Дана точка знаходиться на відстані 6 см від площини трикутника і на однаковій відстані від його вершин. Знайдіть цю відстань.

19. Із точки М, взятої поза площиною , проведено дві похилі, що дорівнюють 37 і 13 см. Проекції цих похилих відносяться як 7:1. Знайдіть відстань від точки М до площини.

20. Через вершину прямого кута С прямокутного трикутника АВС до його площини проведено перпендикуляр CD, що дорівнює 1 дм. Знайдіть площу трикутника ADB, якщо АС=3 дм, ВС=2 дм.

21. У правильній чотирикутній призмі діагональ нахилена до бічної грані під кутом 60^о. Обчислити кут її нахилу до основи.

22. В основі піраміди прямокутний трикутник. Один з катетів якого 6 см, протилежний кут 60^о, кожне бічне ребро 4 см. Обчислити об’єм піраміди.

23. Висота циліндра 5 см. При збільшенні його висоти на 4 см, об’єм збільшиться на 36 см³. Обчислити площу бічної поверхні циліндра.

24.. Основа піраміди – прямокутник зі сторонами 12 та 16 см. Кожне бічне ребро піраміди дорівнює 26 см. Знайти висоту піраміди.. Основою прямого паралелепіпеда є паралелограм, одна з діагоналей якого 17 см і сторонами 9 і 10 см. Площа повної поверхні паралелепіпеда 334 см². Обчислити його об’єм.

25. Навколо кулі описано циліндр. Знайдіть відношення їх площ поверхонь та об’ємів.

26. Висота конуса 9 см. Кут між висотою та твірною 30^о. Обчислити площу перерізу проведеного через 2 твірні, кут між якими 30^о.

27. Основою прямого паралелепіпеда є паралелограм зі сторонами 8 та 32 см і гострим кутом 30^о. Більша діагональ паралелепіпеда дорівнює 40 см. Обчислити об’єм паралелепіпеда.

28. Обчислити площу поверхні сфери, якщо площа повної поверхні описаного навколо неї циліндра 54 см².

29. В циліндрі проведено паралельну площину, яка відтинає від кола основи дугу в 45^о. Висота циліндра 15 см. Відстань від січної площини до осі циліндра 3 см. Обчислити площу перерізу.

30. Зрізаний конус висотою 12 см та радіусами основ 6 та 9 см перетнуто 2 площинами, які паралельні основі та ділять висоту на 3 рівні частини. Обчислити об’єм середньої частини конуса.

31. Доведіть, що прямокутний паралелепіпед, у якого площа бічної поверхні складає 2/3 площі його повної поверхні, є куб.