1 страница. З практичними завданнями

З практичними завданнями

з дисципліни

“Математика”

для студентів І курсу усіх форм навчання усіх спеціальностей

Р.

Опорні конспекти розроблені викладачами дисципліни „Математика”

Вороніною Н.К., Голубковою І.М

Розглянуто і затверджено цикловою комісією природничо – математичних дисциплін.

Протокол № від “ ” вересня 20 р.

Рецензенти:

ЗМІСТ

1. Розділ 1 ФУНКЦІЇ, ЇХ ВЛАСТИВОСТІ ТА ГРАФІКИ..................................................................................................5

1.1 Функції та їх властивостії...................................................................................................................5

1.2 Графіки елементарних функцій та їх перетворення............................................................................................6

1.3 Приклади для розв’язування...........................................................................................7

2. Розділ 2 ГРАНИЦІ ФУНКЦІЇ В ТОЧЦІ ТА

НА НЕСКІНЧЕННОСТІ ТА ЇХ ВИКОРИСТАННЯ

ДЛЯ ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНКЦІЙ................................................................................................10

2.1 Границя функції в точці................................................................10

2.2. Границя функції на нескінченності..............................................12

2.3 Дослідження функції на неперервність.......................................13

2.4. Приклади для розв’язування........................................................13

3. Розділ 3. ТРИГОНОМЕТРІЯ............................................................. 17

3.1 Визначення та графіки тригонометричних функцій....................17

3.2 Основні формули тригонометрії...................................................19

3.3 Найпростіші тригонометричні рівняння........................................21

3.4. Приклади для розв’язування........................................................23

4. Розділ 4. СТЕПЕНІ ТА ЛОГАРИФМИ......................................................................................... 26

4.1 Степені та корені...........................................................................26

4.2 Логарифми.....................................................................................27

4.4. Приклади для розв’язування........................................................28

5. Розділ 5. ПОХІДНА ФУНКЦІЇ ТА ЇЇ

ВИКОРИСТАННЯ...................................................................................40

5.1 Похідна функції, її фізичний та геометричний зміст............40

5.2 Правила диференціювання та таблиця похідних................42

5.3 Використання похідної для дослідження функцій................44

5.4 Приклади для розв’язування.................................................44

6. Розділ 6. ІНТЕГРАЛ ТА ЙОГО ВИКОРИСТАННЯ..........................50

6.1 Невизначений інтеграл та його властивості................................50

6.2 Таблиця невизначених інтегралів...............................................51.

6.3 Визначений інтеграл......................................................................52

6.4. Використання визначеного інтегралу

для обчислення площ плоских фігур..........................................53

6..4 Приклади для розв’язування........................................................54

7. Розділ 7. ВЕКТОРИ ТА КООРДИНАТИ...........................................60

7.1. Визначення вектора та дії з векторами.......................................60

7.2....Рівняння прямої на площині.........................................................62

7.3 Розв’язання систем лінійних рівнянь

.........за формулами Крамера................................................................63

7.4. Приклади для розв’язування.................................................64

8. Розділ 8. СТЕРЕОМЕТРІЯ.............................................................67

8.1. Аксіоми стереометрії....................................................................67

8.2 Теореми стереометрії..................................................................68

8.3 Площі плоских геометричних фігур............................................69

8.4. Площі поверхонь та об’єми деяких тіл.......................................70

8.5. Приклади для розв’язування......................................................73

Рівні засвоєння навчального матеріалу:

- п ерший рівень – початковий – відповідь студента при відтворенні навчального матеріалу – елементарна, фрагментарна, зумовлюється початковими уявленнями про предмет вивчення;

- другий рівень – середній – студент відтворює основний навчальний матеріал, здатний розв’язувати завдання за зразком, володіє елементарними вміннями навчальної діяльності (*);

- третій рівень – достатній – студент знає істотні ознаки понять, явищ, закономірностей зв’язків між ними, а також самостійно застосовує знання в стандартних ситуаціях, володіє розумовими операціями (аналізом, абстрагуванням, узагальненням тощо), уміє робити висновки, виправляти допущені помилки; відповідь повна, правильна, логічна, обгрунтована, хоча їй бракує власних суджень (**);

- четвертий рівень – високий – знання студента є глибокими, міцними, узагальненими, системними; студент уміє застосовувати знання творчо, його навчальна діяльність має дослідницький характер, позначена вмінням самостійно оцінювати різноманітні життєві ситуації, явища, факти, виявляє і відстоює особисту позицію (***).

Розділ 1. ФУНКЦІЇ, ЇХ ВЛАСТИВОСТІ ТА ГРАФІКИ

План

1. Визначення функції та способи задання.

2. Властивості функції.

3. Графіки елементарних функцій та їх властивості.

4. Перетворення графіків елементарних функцій

5. Приклади для розв’язування.

1. Функцією називається відповідність між двома множинами, при якій кожному елементу однієї множини (області визначення) відповідає єдиний елемент іншої множини (області значень).

Область визначення функції має обмеження у таких випадках:

·

·

·

2. Функція зростає, якщо більшому значенню аргумента відповідає більше значення функції і спадає в іншому випадку:

f(x) ↑↔ x₂>x₁→ f(x₂)>f(x₁);

f(x) ↓↔ x₂>x₁→ f(x₂)<f(x₁);

Функція парна, якщо при зміні значення аргументу на протилежне значення функції не змінюється: f (-x) =f(x).

Функція непарна, якщо при зміні значення аргументу на протилежне значення функції змінюється на протилежне: f (-x) = - f(x).

Функція, що не являється непарною та парною називається функцією загального вигляду.

3. Елементарні функції та їх графіки

№ п/п	Назва функції.	Формула.	Графік.
1.	Лінійна функція		Пряма лінія.
2.	Пряма пропорційність.		Пряма лінія, що проходить через початок координат.
3.	Обернена пропорційність.		Гіпербола.
4.			Парабола.
5.			Кубічна парабола.
6.			«Лежача» вітка параболи
7.			Кут, утворений бісектрисами 1 та 2 чверті.

4. Найпростіші перетворення графіків функцій.

№ п/п	Функція	Перетворення.
		Одержується з графіка функції зміщенням вздовж осі Оу вгору на одиниць, якщо ; вниз, якщо .
		Одержується з графіка функції зміщенням вздовж осі Ох вправо на одиниць, якщо ; вліво, якщо .
		Одержується симетричним відображенням графіка функції відносно осі Ох.
		Одержується симетричним відображенням графіка функції відносно осі Оу.
		Одержується з графіка функції розтягненням вздовж осі Оу в разів, якщо ; або стисненням до осі Ох, якщо .
		Має той самий вигляд, що й у графіка , тільки розтягнено від осі Ох, якщо , або стиснено до осі Ох, якщо .
		Ділянки графіка , які лежать праворуч від осі Оу – без зміни, і ця ж сама частина симетрично відображається відносно осі Оу.
		Ділянки графіка , які лежать вище від осі Ох – без зміни, а та частина, що нижче від осі Ох - симетрично відображається відносно осі Ох.
		Ділянки графіка , які лежать вище від осі Ох – без зміни, і ця ж сама частина симетрично відображається відносно осі Ох.

5. Приклади для розв’язування.

1.Дослідити функції на парність.

1)

2)

3)

4)

5) *

6) *

7) **

8) **

9) **

10) **

11) ***

12) ***

2. Знайти область визначення функції.

1)

2)

3)

4) *

5) *

6) *

7) *

8) **

9) **

10) **

11) **

12) **

13) ***

14) ***

15) ***

16) ***

17) ***

3. Побудувати графік функції та указати область значень:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Розділ 2. ГРАНИЦІ ФУНКЦІЇ В ТОЧЦІ ТА НА НЕСКІНЧЕННОСТІ ТА ЇХ ВИКОРИСТАННЯ ДЛЯ ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНКЦІЙ

План

1. Границя функції в точці.

2. Теореми про границі.

3. Правила обчислення границь.

4. Границя на нескінченності.

5. Дослідження функції на неперервність

1. Границя функції в точці

Нехай функція визначена в деякому околі Х точки (крім можливо самої точки ).

Число А називається границею функції при , якщо для довільного існує число таке, що для всіх , які задовольняють нерівність: , виконується нерівність .

Пишуть:

- - окіл точки

- - окіл точки А

Геометрично це означає: що будь – якій точці з - околу відповідає деяка точка з - околу.

2. Теореми про границі.

Якщо кожна з функцій і має скінченну границю при , то справедливі формули:

1)

2)

3)

4)

5)

3. Правила обчислення границь.

1. Якщо функція дробово – раціональна, то для знаходження границі чисельник і знаменник розкладають на множники, які потім скорочують, причому скоротитись повинен той множник, який обертається в нуль.

2. Якщо чисельник функції – стала величина, а границя знаменника дорівнює нулю, то границя такої функції є нескінченність.

3. Якщо функція містить знаки радикалів, то чисельник і знаменник помножають на вираз, спряжений до чисельника (знаменника), а потім застосовують формулу різниці квадратів. Вирази та називаються спряженими.

4. Якщо функція містить корінь третього степеня, то чисельник і знаменник помножають на неповний квадрат суми або різниці, а потім застосовують формулу суми або різниці кубів.

4. Границя функції на нескінченності.

Границею на нескінченності називається число, до якого прямує значення функції, якщо аргумент нескінченно зростає.

1. Границя функції, яка представляє собою многочлен, при є нескінченність.

2. Границя на нескінченності дробово – раціональної функції, у якої степінь чисельника і знаменника однакові дорівнює відношенню коефіцієнтів при старших членах.

3. Границя на нескінченності дробово – раціональної функції, у якої степінь чисельника менша за степінь знаменника, дорівнює нулю.

4. Границя на нескінченності дробово – раціональної функції, у якої степінь чисельника більша за степінь знаменника, дорівнює нескінченності.

5.Дослідження функції на неперервність.

Функція називається неперервною в точці , якщо вона в цій точці визначена і нескінченно малому приросту аргументу відповідає нескінченно малий приріст функції: .

Функція називається неперервною в точці ,якщо виконуються слідуючи умови:

1) функція визначена в точці ;

2) існує границя функції в точці ;

3) значення функції в точці співпадає із значенням границі в точці .

Число А називається границею функції справа при , , якщо функція визначена у правому - околі точки , і для будь – якого знайдеться таке , що для всіх , взятих з інтервалу виконується нерівність .

Позначають

Число А називається границею функції зліва при , , якщо функція визначена у лівому - околі точки , і для будь – якого знайдеться таке , що для всіх , взятих з інтервалу виконується нерівність .