Емпірична функція розподілу

Нагадаємо, що функція розподілу F(х) випадкової величини Х визначається рівністю

Р(х)=Р{Х<х}.

Її називають ще теоретичною функцією розподілу випадкової величини Х або функцією розподілу генеральної сукупності.

Емпіричною функцією розподілу випадкової величини Х (функцією розподілу вибірки) називають функцію F_n(х), що визначає для будь-якого дійсного числа х відносну частоту події {Х < х}, тобто

Коли вихідні статистичні дані згруповані в дискретний варіаційний ряд, то емпірична функція розподілу записується у вигляді:

Приклад 2. Знайти емпіричну функцію розподілу за даним розподілом вибірки:

xi	3	5	7	10	15
ni	2	4	7	4	3

Розв’язання.

Для x≤3 F*(x)= 0; для 3< x≤5 F*(x)= 2/20=0,1; для 5< x≤7 F*(x)=(2+4)/20=0,3;

для 7< x≤10 F*(x)=(2+4+7)/20=0,65; для 10< x≤15 F*(x)=(2+4+7+4)/20=0,85;

для 10< x≤15 F*(x)=(2+4+7+4+3)/20=0,85; для 15< x F*(x)=1.

Графік цієї функції:

	0,85
	0,65
	0,3
	0,1

Запишемо шукану емпіричну функцію:

╚═

Приклад 3. Дано вибірку: 0,1 0,4 0,23 0,12 0,35 0,46 0,11 0.04 0,51 0,27 0,31 0,34 0.09 0,18 0,49 0,33 0,3 0,22 0,14 0,5 0,41 0,25 0,48 0,32 0,29 0,31 0,31 0,46 0,44 0,38 0,39 0,13 0,47 0,4 0,53 0,37 0,16 0,44 0,39 0,27 0,25 0. 46 0,2 0,11 0,32 0,41 0,48 0,22 0,35 0,52

За даними вибірки побудувати інтервальний статистичний розподіл, полігон і гістограму частот.

Розв’язання. Знаходимо обсяг вибірки: n=50.

Для вибору оптимальної довжини частинного інтервалу рекомендована формула:

Згідно цього оптимальна кількість інтервалів:

Фактичну довжину інтервалу знайдемо як

Середина серединного інтервалу Серединою є х ₄=0.285_.

Серединний інтервал [ z₄; z₅ )= [ 0,25;0,32 ).

Решту інтервалів знаходимо, рухаючись вперед та назад від серединного:

x₅=x₄+h= 0,285+0,07=0,355; x₃=x₄ -h= 0,285-0,07=0,215;

x₆=x₅+h= 0,355+0,07=0,425; x₂=x₃ -h= 0,215-0,07=0,155;

x₇=x₆+h= 0,425+0,07=0,495; x₁=x₂ -h= 0,155-0,07=0,085;

№ інтервалу i	Частинний інтервал [ zi,;zi+1 )	Сума частот ni
	[0,04;0,11).
	[0, 11;0,18).
	[0,18;0,25).
	[0,25;0,32).
	[0,32;0,39).
	[0,39;0,46).
	[0,46;0,53].

Отримуємо інтервальний статистичний ряд:

Полігон і гістограма частот.

╚═

Для самостійної роботи:

Завдання 1. Маємо вибірку з 20 елементів:

а) Побудувати варіаційний ряд вибірки та її статистичний розподіл, а також розподіл відносних частот.

б) Знайти емпіричну функцію розподілу.

в) Побудувати полігон та гістограму частот, а також графік емпіричної функції.

Варіант 1	1, 5, 6, 8, 10, 14, 8, 10, 8, 6, 8, 1, 1, 14, 8, 10, 5, 6, 8, 6.
Варіант 2	11, 5, 10, 8, 11, 14, 8, 10, 8, 6, 8, 11, 11, 14, 6, 10, 5, 6, 8, 6.
Варіант 3	11, 9, 10, 8, 11, 14, 8, 10, 8, 9, 8, 11, 11, 14, 8, 10, 9, 11, 8, 9.
Варіант 4	16, 9, 10, 8, 10, 14, 8, 10, 8, 9, 9, 16, 10, 14, 8, 10, 9, 16, 8, 9.
Варіант 5	10, 16, 10, 9, 6, 9, 9, 16, 10, 14, 6, 10, 6, 14, 9, 16, 10, 9, 16, 10.
Варіант 5	10, 16, 11, 9, 11, 9, 9, 6, 10, 14, 6, 10, 6, 14, 9, 6, 10, 9, 6, 11.

Завдання 2. Дано вибірку. За даними вибірки побудувати інтервальний статистичний розподіл, полігон і гістограму частот.

Варіант 1, 2: 0,15 0,4 0,25 0,19 0,35 0,45 0,11 0,04 0,51 0,29 0,31 0,32 0,09 0,18 0,49 0,33 0,35 0,22 0,14 0,52 0,41 0,25 0,45 0,32 0,29 0,39 0,31 0,46 0,42 0,32 0,39 0,13 0,49 0,4 0,53 0,37 0,16 0,44 0,39 0,27 0,25 0,46 0,22 0,11 0,32 0,41 0,48 0,22 0,35 0,52

Варіант 3, 4: 0,45 0,4 0,25 0,29 0,35 0,45 0,21 0.04 0,21 0,29 0,31 0,32 0,19 0,18 0,49 0,33 0,35 0,32 0,14 0,22 0,44 0,24 0,45 0,32 0,49 0,39 0,31 0,46 0,42 0,22 0,39 0,13 0,49 0,4 0,43 0,37 0,16 0,44 0,39 0,27 0,25 0. 46 0,52 0,11 0,12 0,41 0,28 0,12 0,15 0,53

Варіант 5, 6: 0,25 0,55 0,35 0,29 0,36 0,45 0,41 0.04 0,24 0,29 0,36 0,42 0,39 0,18 0,49 0,23 0,35 0,23 0,34 0,42 0,49 0,21 0,35 0,52 0,27 0,36 0,31 0,46 0,42 0,23 0,49 0,13 0,49 0,45 0,43 0,34 0,26 0,44 0,39 0,27 0,35 0. 46 0,32 0,11 0,32 0,41 0,18 0,52 0,55 0,42

Критерії оцінювання:

1-5бали – конспект приведених прикладів;

Кожний розв’язаний приклад – 3,5 балів.

Максимальна кількість балів – 12.